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· BEREN.GER B. [B5~(C ~@H~~O@mJ EXERCICE 1(5 points) Soit n un entier naturel s

· BEREN.GER B. [B5~(C ~@H~~O@mJ EXERCICE 1(5 points) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Une urne contient des boules numérotées de 1 à 2n. On y trouve: 1 boule portant le numéro 1 2 boules portant le numéro 2 22boules portant le numéro 3 23 boules portant le numéro 4 etc, et enfin: 22n'l boules portant le numéro 2n. Partie 1- . 1°) On appelle N le nombre de boules contenues dans l'urne, montrer que N = 4n-1 et que c'est un multiple de 3. 2°) On désigne par 1le nombre de boules portant un numéro impair, et par P le nombre de boules portant un muméro pair. 4 n -1 a) Montrer que 1= -3 b) Exprimer alors 1en fonction de N et montrer que 2N P=21= 3 Partie 2-. On tire simultanément et au hasard 2 boules de l'urne et on désigne par X le nombre de boules tirées portant un numéro pail'. 1°) Donner en fonction de N, la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2°) Calculer son espérance mathématique et vérifier qu'elle ne dépend pas de N. Partie 3-. On suppose maintenant que 100 ~ 1~ 1000. 1°) Quel est le plus grand numéro porté par les boules. 2°) On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité pour que cette boule porte un numéro supérieur ou égal à 8. EXERCICE II (4 points) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (0, u, v), d'unité graphique un centimètre. On désigne par fi'application qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = Z2 - 2 z.. 1°) a) Déterminer les points du plan ayant pour image les point Ad'affixe - 4. b) Ecrire les affixes des points obtenus sous forme irigonométrique. 2°) On note ( x , y) les coordonnées du point M et ( x' , y' ) celles de son image M' par f. Exprimer x' et y' en fonction dex et dey. 3°) a) Etablir que l'ensemble (H) des points M dont les images M'appartiennent à l'axe des ordonnées est une hyperbole dont on précisera les sommets, les axes, les foyers et les asymptotes. b)Construire (H) avec soin. 4°) a) Etablir que l'image de l'axe des ordonnées par f est la parabole (r) d'équation f = - 4 x . b) Construire (r) avec soin. PROBLEME (11 points) Partie A: 1°) (Eo ) désigne l'équation différentielle y" + 2 y' + y= O. Déterminer les solutions générales de (Eo ) 2°)(E) est l'équation différentielle y " + 2 y' = Y= 2 e'X. L.E. PDG TC, 98/99 ' 6 a) Vérifier que la fonction h définie sur IR par h(x) '"", x2e-Xest une solution particulière de (E). b) Montrer que qJ est une solution de (E) si et seulement si g = qJ - h est une solution de (Eo )' c) Déterminer toutes les solutions de (E) d) Déterminer la solution fo de (E) satisfaisant aux conditions initiales fo(O) = 4 et fo'(O) = O. Partie B: On considère la fonction f définie par f(x) = ( x + 2 i e'X et 011 désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique un centimètre. 1°) Etudier les variations de f et tracer (C) avec soin. 2°) En remarquant que f est solution de l'équation différentielle (E), déterminer une primitive F de f sur IR ( On calculera J: (f" + 2 f' + f)(t) dt). 3°) Pour tout entier naturel n, on pose ~ = J; f(t) dt. a) Exprimer ln en fonction de n et en donner une interprétation graphique. b) Etudier la convergence de la suite (~) puis en déduire que le domaine plan illimité des points M ( x, Y ) où 0 ~ x et 0 ~ y ~ f(x), a une aire que l'on précisera. Partie c: On se propose d'étudier la convergence de la suite u définie pour tout entier naturel non:Aul n par: Un=' n\ [(l+2n)2 e-; +(2+2n)2e-~ + ....+(n+2n)2e-~] 1 n _ls 0= -~ (k + 2n)2 e n n 3 f1. 1°) Vérifier quepour tout entier naturel non nul n on a: n-1 1n (k) 1 (k) 4 e - 9 Un = ;;- ~ f;;- et;;- ~ f ~ = Un + --;; 2°) Etablir que pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel k tel que 0 ~ k~ n - 1 on a : 1 (k +1) • k+1 1 (k) - f -- s rn f(t) dt s - f n n J~ n n n 3°) Démontrer quepour tout entier naturel non nul n on a 1 4e-9 UnS r f(t)dt~~+ --. Jo ne 4°) En déduire que pour tout entier naturel non nul n on a 4e-9 . Il - --- ~ ~ ~ Il' ne 5°) Etudier alors la convergence de la suite u puis préciser sa limite. , uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-gabon-maths-1996-series-ce.pdf