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Bac math Page No. math D I OO Ct & © ND 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 I Sp2021 ..........................4. 2 8c2021 ............... 4444444 eee ee. 6 Ssp2020 ................................. 11 8c2020 ................4. 4444444 ee ee. 16 Sp2019 ................................. 21 sp-c2019 ................................ 25 82019 ................, 4,444... 30 sc-c2019 .............44 444444 ee ee. 34 Sp2018 ................................. 39 sc2018 ................ 444444 ee ee. 45 Sp2017 ....................... 444... 52 sp-c2017 ................................ 08 $sc2017 444444 ee ee 66 8c-C2017 444444 ee ee 72 Sp2016 ................................. 78 sp-c2016 ................................ 83 82016 ................. 4,444... 88 sc-c2016 ............... 4444444 ee ee. 94 Sp2015 ................................. 100 sp-c2015 ................................ 104 82015 ................ 4444444 ee ee. 109 8c-C2015 ... 4. ee ee ee ee ee 112 EXAMEN DU BACCALAURÉAT RÉPUBLIQUE TUNISIENNE SESSION 2021 Session principale , L Épreuve : Mathématiques || Section : Mathématiques MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION Durée : Ah Coefficient de l'épreuve : 4 XX EX X cames TITI Le sujet comporte quatre pages. La page 4/4 est à rendre avec la copie. Exercice 1 (5.5 points) Le plan est orienté dans le sens direct. Dans la figure de l’annexe jointe, OABC est un rectangle de centre I tel que OC =1,(OÀ,0B)= à [2xlet D le point du segment [OA] tel que OD = OC. 1) a/ Montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie O sur I et D sur B. 7 b/ Montrer que f est une rotation d’angle & c/ On note Q le centre de f. Construire Q. 2) Soit g l’antidéplacement qui envoie O sur I et D sur B. a/ Montrer que g est une symétrie glissante. b/ Soit J le milieu du segment [O]] et K le milieu du segment [BD]. Les droites (JX) et (OA) se coupent au point E. Montrer que g(E) =. c/ En déduire que £g = Sux) 0 tas. 3) a/ Montrer que f-l0 g=S(04. En déduire que f(E)= J. b/ Comparer OE et OJ. En déduire que les droites (0Q) et (JK) sont perpendiculaires. Dans la suite, on munit le plan du repère orthonormé direct (0,0D,0C). On note 21 , zJ et zk les affixes respectives des points Z , J et K. PEL 4) a/ Justifier que z7=e"6. b/ Montrer que zx —2J = cos(Æ Je' 5. c/ Déterminer une mesure de l’angle orienté ( OD,JK ). 5) Soit M un point de la droite (JX) . On désigne par N le symétrique de M par rapport à (OA) et par P l’image de M par g. a/ Soit r la rotation de centre E et d’angle = Montrer que r(M)=N. b/ En déduire que f(N)=P. -1/4- Page 2 Exercice 2 (4 points) 1) a/ Montrer par récurrence que pour tout n € N , 21" = 1+20n (mod 100). b/ En déduire les deux derniers chiffres de l’entier 20212021. On note E l’ensemble des entiers x € Z tels que pour tout n EN, x*=1+n(x-1) (mod 100). 2) Vérifier que 21 est un élément de E. 3) Soit x un élément de E. a/ Montrer que (x-— 1)? = 0 (mod 100). b/ En déduire que x = 1 (mod 10). 4) Soit q € Z. Montrer que pour tout ne N, (1+10 qg)"=1+10 nq (mod 100). 5) Déterminer l'ensemble E. Exercice 3 (6 points) 1) Soit y la fonction définie sur ] 0, +00 [ par g{x) = sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) du plan. a/ Calculer lim (x) et Jim p(x). Interpréter graphiquement les résultats. 1+1nx . On désigne par (&) —Inx b/ Montrer que pour tout x > 0 , p'(x)= E- c/ Dresser le tableau de variation de . d/ Tracer la courbe (@), en précisant l'intersection avec l’axe des abscisses. Dans la suite de l’exercice, r est un entier supérieur ou égal à 1. 1+In(x+n) ER On désigne par (€,) sa courbe représentative dans le repère (O,i,7). a/ En remarquant que ,(x) = g(x+n), montrer que (@,) est l’image de (&) par une translation que l’on précisera. b/ Tracer (4) dans le repère (O, i, j). 3) Soit h, la fonction définie sur ] 0,+œ [ par À, (x) = p,(x) — (x). a/ Montrer que pour tout x>1,h,(x)< 0. b/ Montrer que pour tout x de 10,11], h!(x) < 0. c/ En déduire que l'équation h,(x) = 0 admet dans l'intervalle ]0,+00 [ une 2) Soit y, la fonction définie sur ] -n,+00 [ par p,(x)= unique solution a, et vérifier que : <a <d 4) a/ Montrer que n+1+ @n+1 > n+an. b/ Comparer q(ah:1) et pan). c/ Montrer que la suite (a,),>1 est convergente. On note £ sa limite. d/ Justifier que lim (an) = 0. En déduire la valeur de £. - 2/4 - Page 3 Exercice 4 (4.5 points) 1) Soit F et H les fonctions définies sur [0,+oo[ par 2 4 FG@= J eVdt et H&==-2(1+ VE) ee. a/ Montrer que F est dérivable sur [0,+oof et donner F'(x). b/ Montrer que pour tout x >0 , F(x) = H(x). c/ En déduire que F(0) = H(0). 2) Soit G la fonction définie sur [0,+ool par G(x) = [ “ Vie Vidt. t a/ En remarquant que pour tout 4>0, ÿ#= 7 montrer à l’aide d’une 2 intégration par parties que G{(x) = + 2xe7*+92F(x), pour tout x > 0. b/ Justifier que G(0) = É +2F(0). 3) Ci-dessous on a tracé , dans un repère orthonormé, les courbes (&;) et (&,) des fonctions f et g définies sur [0,+00 [ par f(x) = e-* et gx) = Vre”". «| —1 Pour tout À > 1, on désigne par , l’aire en (u.a) de la partie du plan limitée par (6) ,(6,) et les droites d'équations respectives x=0 et x=1. 6 a/ Montrer que «4 = —--2. e b/ Montrer que pour tout À > 1, 4 = #1 + G(ÀA) - FU). c/ Calculer lim . A—+00 -3/4- Page 4 Section :... Nom et Prénom : . N° d'inscription : . Signatures des surveillants Épreuve: Mathématiques - Section : Mathématiques Session principale (2021) Annexe à rendre avec la copie - 4/4 - Page 5 EXAMEN DU BACCALAURÉAT RÉPUBLIQUE TUNISIENNE SESSION 2021 SRnUleeontTals J Épreuve : Mathématiques Section : Mathématiques MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION Durée : 4h Coefficient de l'épreuve : 4 EKREKE EX Le sujet comporte cinq pages. Les pages 4/5 et 5/5 sont à rendre avec la copie. Exercice 1 (3 points) Soit aeZ. 1) Déterminer les restes possibles modulo 6 de l’entier a. 2) Vérifier que aÿ = a (mod 6). 3) a/ Montrer par récurrence que pour toutne N, a?*!= a (mod 6). b/ En déduire que pour tout entier n>1, a?" =a? (mod 6). x7-y8=0 (mod 6), 4) Résoudre dans Z? le système à 3 x3y? = 1 (mod 6). Exercice 2 (5 points) Le plan est orienté dans le sens direct. Dans la figure 1 de l’annexe jointe, ABC est un triangle rectangle et isocèle en À de sens direct, le point O est le milieu du segment [BC1 et les triangles AEB et ACF sont équilatéraux directs. 1) Soit r1 la rotation de centre À et d’angle æ. Montrer que r(B)=F et r1(E)=C. 2) Soit S la symétrie orthogonale d’axe (OA). a/ Montrer que S([BE1) =[CF1. b/ Les droites (BE) et (CF) se coupent en un point Q. Montrer que les points À, O et Q sont alignés. 3) Soit f un déplacement qui envoie le segment [BE] sur le segment [CFI. a/ Montrer que f = r; ou f est la rotation r2 d’angle _. et de centre (2. b/ Construire le point A’ = r2(A) et montrer que ACA'F est un losange. 4) Soit g l’antidéplacement qui envoie B sur F'et E sur C. a/ Montrer que g est une symétrie glissante. b/ Montrer que g(A)= À. c/ Soit I le milieu du segment [BE] et J = g(1). Montrer que g=Sunot;:. -1/5- Page 6 Exercice 3 (4.5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,ü ,ü). 1 1) æ/ Résoudre dans l’ensemble C l'équation : 22+z+-—=0. On note 2 et 22 les solutions avec Im(z1) > 0. b/ Écrire z; sous forme exponentielle. Dans la figure 2 de annexe jointe , À et B sont les points d’affixes 1 respectives 1 et ei $ . A est la droite d’équation x = on 2) La droite A coupe la droite (OB) au point C. Montrer que l’affixe du point C est égale à 21. . — 1 . 3) Soit D le point d’affixe zp = Se a/ Vérifier que zn = 2. zp-1 2 A-1 3 c/ Construire le point D. 4) Soit zeC. ‘ Montrer que (2?+2€R) équivaut à (2ER ou Re(z)= 5) ; 5) Pour z € C \{ 1 }, on désigne par M et N les points d’affixes respectives z et z°. b/ Montrer que a/ Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM et AN sont colinéaires. b/ Dans la figure uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-math-sect-math-index-2015-2021.pdf