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BACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHEMATIQUES ENSEIG cient : 7 Les câlculatdc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHEMATIQUES ENSEIG cient : 7 Les câlculatdces électroniqu€s de poche sont autorisées, conforménent à lâ iégl€mentation €nvigueur, Le sujet comporte deux annexes à rendre avec la copie. Avant ale composer,le candidât s'âssùrera que le srjet comporte bien 7 pag€s tûmérotées de 1/7 à 7/? séries ^210 ^,IENAI'IHU ^af]lalal7 - - -/- f----v lrftt lræve : 4 neures IV Le sujet esl composé de 4 exercices indép€ndaûts. Le cândidât doit traiter tous l€s exercices. Dâns châque ex€rcice, l€ cândidât peùt admettre un résultat précéil€mm€lt donné dans le texte pour âborder les questrotrs sùiyantes, à cotrdition de I'indiquer clâiremetrl sur la copie. Le canalidât est itryité à fâir€ ligùrer sur Ia copie toute trâce de rech€rche' mêm€ incomplète ou non fiuctueuse, qu,il aurâ déyeloppé€. II €st rappelé qù€ lâ qualité de lâ rédâctiotr, lâ clarté €t lâ précision d€s raisonn€metrts entreront pour une part impoftânte dans I'appréciation d€s gMÀOSME 2 Page 117 EXIRCICE 1: (4 points) Commun ù tous les caûdidats Les deux questions de cet exercice sort indépendantes. 1.1 On considère la suite (r,) déFrJ e par : ,0 = 1 et, pour tout nombre enlier naturel n, u,*, =Lu, * 4. Or pose, poû tout nombre entier naturel 7, , r, =u^ - 6. a) PouI tour noûbre entier naturel ,? . calculer v,,, en fooctioo de vo. Quelle est la nalule de la sùi1e (v, ? /1\' b) Démontrer que pour tout nombrc entier ûattùel n , u,= slr) +6. c) Etudier la convergetce de la suite (r,). 2) On considèrc la suite (r,) dont les temes vérifieût, pour tout nombre enlier /, > 1 : nw, =(n+l)w,-r+l a wa-7. Le tableau suivant donne les dix premiers tennes de cette sulte. â) Détailler le calcul permettant d'obtenir wro. b) Dahs cette question toute trace de rccherche, mêhe incomplète, ou d'initiative hême non fr ctueuse, setaprise en corrrpte dans l'étaluation. Donner la nature de la suite (v.). Calculer r20oe. w0 'Wl 'llz w1 W5 Wa 3 5 7 9 11 13 15 17 19 9MÀOSME 2 Pase2l7 P@$Ç!Ç[! : (6 points) Commtt t à lous les candidsli Soit / la toncrion déh,rie sur l inrervalle [0: -"o[ parfG)-f"(f -t*-'). On note /' la fonctior dérivée de la fonction / sur l'intervalle [0 ; + "o[ . On note € la coùrbe représentalive de la fonction / dans un repère orthogonal. La corube Ç est représentée en amexe 1 (à rendre avec la copie). PARTIE I 1) Justifier que ,ll1/<'l = O . 2) Justifier que pour tout nombÎe réel positifx, le signe de /'(t) est celui de 1 - .' . 3) Étudier les variations de la fonction/ sur f intewalle [0 ; +.o[ . PARTIE II Soit 1" un nombrc réel striotement positif. On pose A(I) = [",t(t) * Jo On se propose de majorer A (1,) à l'aide de deux méthodes différentes. l.) Première métbode. a) Représenter, sur I'annexe joinle (à retdre avec la copie), la partie du plan dont l'aire eû uaité d'aire, est égaie à A (1,) . b) Justifier que pour tout nombre réel l" sticlemeût posilif, A (),) S 7' x /(1) . 2) Deuxième méthode. a) Calculer à l'aide d'ute intégation par putti", ["t"-' d:c en fonction de 1. b) On admet que pour tout nombæ réel positif u,\a\1'+u)<u Démon'trer alors que, pour tout oombre réel I sûictemenl positif, A(l)<-Ie-^-e'+1. 3) Applicatioh n umbiqu4 Avec chacune des deux méthodes, tlouvel un majorant de A(5), arrondi au centième' Quelle méthode donne le meilleur majoraat dans le cas oir I = 5 ? 9MAOSME 2 Pzge3ll EXXRCICE3:(5points) Commuû à tous les candiù^ts I Cette questioh est u e restitutio organisée de connaissances. On rappelle que si n etp sont derù nombles entiers naturels tels que p 3n alors f'l=- t-I I - \p) pt\n - pll Démonter que poul tout nombre entier naturel '? et poul toul nombre ettier naturel l tels que (z) [a-l) fn -l) 1Sp<rona:l l-l ,lrl I \p)\p-L)\p) II Un sac codient 10 jetons indiscemables au toucher : 7 jetons blancs runérotés de I à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. Oo tire simultarément deux jetons de ce sac. 1) a) On ûote A l'événement (obtenir deuxjetotrs blâllcs). Démontrer que la probabilité de l'événemenL e est égale à 1. b) On note B l'événement (obtenir deux jetons portant des rrumércs impats) Calculer la probabilité de B. c) Les évétrements A et B sont-ils indépendanls ? 2) Soit -tr la variâble aléatoire ?rcmrrt pour valeur Ie nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. a) Déterminer la loi de Fobabilité de -f b) Calculer I'espérance mathématique de X 9MAOSME2 P^ge 4n EXERCICE4:(5points) Candidats n'dyant pas sttivi I'ehseignemeht de spëcialilë Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O ; i, i), on associe à lout point M d'afflxe z non nulle, le point M' milieu du segnent lMMrl, on M, est le point d'affrxe 1 Le point M' est appelé I'image du point M . 1) a) Montrer que les distances OM et OMr vérifient la rclarion OMxOMf 1 et que les angles ç,,o,,0.) " (a- ; -û) vérifient l'egalité des meswes suiv m"" @;oil)= -l';oû) azn pre". b) Sur la figue donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point I appætient au ceicle de centle O et de rayon 2. Construire le point l' image du point I . (On laissera apparenls les traits de oonstuclion) 2) a) Justiier que porr tout nombre complexe z non nul, le point M' a pour affixe 2 = :l , , !) 2\ z) b) Soient B et C les points d'afflxes respectives 2i et -2i. Calculei les affixes des points 3' et C' imâges respectives des points B et C. c) Placer les points B, C, B' etC' surlafigwe donnée en amexe 2 (à rendre avec la copie)- 3) Déteminer l'ensemble des points M tels qte M' = M . 4) Dans cette question, toute tface de fecherche même incomplète, ou d'ikitiatbe mêtfie non fructueuse, sera prise en compte ddlls l'ëvaluation. Moûter que si le poinl M appaxtient au cercle de centre O et de rayoû 1 alors son image M' appaltient au segment [KZ] où ,< et I soût les points d'afflxes respectives 1 et 1 9MÀOSME 2 Page 517 ANNEXE 1 Exercice 2 (À rendre avec 1a copie) 9MÀOSME 2 Page 6/7 ANNEXE 2 Exercice 4 Candiilats n'ayant pas suivi l'euseignemeût de spécialité (À rendre avec la copie) A 9MAOSME 2 Page7/1 uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-mathematiques-2009-s.pdf