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Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2002 EXERCICE 1 4 points Commun à t

Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2002 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. À chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère ortho- normal O, − → ı , − →  , le point M de coordonnées (x ; y). On désigne par D le disque de centre O et de rayon 1,7. Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible. 1. Placer dans le plan muni du repère (O ; − → ı , − → ) les points correspondant aux différents résultats possibles. 2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ; B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ». 3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x2 + y2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique E(X ). b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le point M appartient au disque D » est égale à 4 9. 4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan. Quelle est la probabilité de l’évènement suivant : C : « Au moins un de ces points appartient au disque D » ? 5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan. Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999. EXERCICE 2 5 points Candidats qui n’ont pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, − → u , − → v (unité graphique : 2 cm). 1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est π 2. Baccalauréat S novembre 2000 b. Résoudre dans C l’équation iz −2 = 4i −z. On donnera la solution sous forme algébrique. 2. On désigne par I, A et B les points d’afﬁxes respectives 1, 2i et 3 + i. a. Faire une ﬁgure que l’on complétera au cours de l’exercice. b. Calculer l’afﬁxe zC du point C image de A par la symétrie de centre I. c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC −zB zA −zB . En déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB désignent les afﬁxes des points A et B). d. Soit D le point d’afﬁxe zD tel que zD −zC = zA −zB. Montrer que ABCD est un carré. 3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur − − → MA +− − → MB +− − → MC +− − − → MD . a. Exprimer le vecteur − − → MA +− − → MB +− − → MC +− − − → MD en fonction du vecteur − − → MI . b. Montrer que le point K déﬁni par − − → K A +− − → K B +− − → K C +− − → K D = 2− − → AB est le mi- lieu du segment [AD]. c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que − − → MA +− − → MB +− − → MC +− − − → MD = 2− − → AB . Construire Γ. EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, − → u , − → v (unité graphique : 2cm). On désigne par m un nombre réel. On considère la transformation Tm du plan dans lui-même qui, à tout point M d’afﬁxe z associe le point M′ d’afﬁxe z′ déﬁnie par : z′ = (m +i)z +m −1−i Partie A 1. Peut-on choisir m de telle sorte que Tm soit une translation ? 2. Déterminer le réel m de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de cette rotation. Partie B Dans la suite de l’exercice on pose m = 1. 1. a. Calculer l’afﬁxe du point Ωinvariant par Tm. Amérique du Sud 2 Baccalauréat S novembre 2000 b. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z′ −1 z −1. En interprétant géométriquement le module et un argument de z′ −1 z −1, démontrer que T1 est une similitude directe dont on précisera les élé- ments caractéristiques. c. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct de Ω, alors le triangle ΩMM′ est rectangle isocèle en M. 2. On déﬁnit dans le plan une suite (Mn) de points en posant : M0 = O, M1 = T1(M0), pour tout entier naturel n non nul : Mn = T1(Mn−1). a. Placer les points M1, M2, M3 et M4 dans le plan muni du repère O, − → u , − → v . b. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn. Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique. Converge-t-elle ? PROBLÈME 11 points Partie A Étude préliminaire : mise en place d’une inégalité. 1. Le plan est muni d’un repère orthonormal O, − → ı , − →  . On désigne par ∆la droite d’équation y = x +1 et par Γ la courbe d’équation y = ex. a. Que représente la droite ∆pour la courbe Γ ? b. Tracer dans le repère O, − → ı , − →  la droite ∆et donner l’allure de Γ. 2. a. Démontrer que pour tout réel t, et ⩾t +1. Interpréter graphiquement ce résultat. b. En déduire que pour tout réel t, e−t + t +1 ⩾2, et que pour tout x de R∗ + on a : 1 x +lnx +1 ⩾2. Partie B Étude d’une fonction. On considère la fonction g déﬁnie sur ]0 ; + ∞[ par g(x) = (x +1)lnx. On appelle C la courbe représentative de g dans le plan muni d’un repère orthonor- mal O, − → u , − → v (unité graphique : 2 cm). 1. a. Étudier le sens de variations de g en utilisant la partie A. b. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en + ∞. 2. a. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d’abscisse 1. b. On appelle h la fonction déﬁnie sur ]0 ; + ∞[ par : h(x) = g(x)−2x +2. Étudier le sens de variations de h. On pourra utiliser la question A.2.b.. En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x. Amérique du Sud 3 Baccalauréat S novembre 2000 c. Étudier la position de C par rapport à D. 3. Tracer C et D dans le repère O, − → u , − → v 4. Pour tout n de N∗, on pose Un = n+1 n g(x)dx. a. Donner une interprétation géométrique de Un. b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a : g(n) ⩽Un ⩽g(n +1). c. En déduire le sens de variation de la suite (Un). d. La suite (Un) est-elle convergente ? Partie C Étude d’une primitive. G désigne la primitive de g sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1. On a donc : pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, G(x) = x 1 g(t)dt. 1. Quel est le signe de G(x) suivant les valeurs de x ? 2. Calculer G(x) à l’aide d’une intégration par parties. 3. Déterminer les limites de G en 0 et en + ∞. Pour l’étude en +∞, on pourra mettre x en facteur dans l’expression G(x). Pour l’étude en 0, on admettra que lim x→0x lnx = 0. Amérique du Sud 4 uploads/Ingenierie_Lourd/ ameriquedu-sud-snov-2000.pdf