Baccalauréat STI 2004  L’intégrale de septembre 2003 à juin 2004 France Arts

 Baccalauréat STI 2004  L’intégrale de septembre 2003 à juin 2004 France Arts appliqués septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . 3 France Génie mécanique septembre 2003 . . . . . . . . . . . . 5 Polynésie Génie électronique septembre 2003 . . . . . . . .9 France Génie mécanique septembre 2003 . . . . . . . . . . .11 Polynésie Génie mécanique septembre 2003 . . . . . . . .13 France Génieélectronique septembre 2003 . . . . . . . . . .15 Nouvelle–Calédonie Génie électronique sept. 2003 . 18 Nouvelle–Calédonie Génie mécanique sept. 2003 . . .20 France Arts appliqués juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 France Génie civil juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 France Génie des matériaux juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . .27 Polynésie Génie mécanique juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . 29 France Génie électronique juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Polynésie Génie électronique juin 2004 . . . . . . . . . . . . . 35 L’intégrale 2004 2  Baccalauréat STI France  Arts appliqués septembre 2003 EXERCICE 1 8 points Un sondage réalisé auprés de 600 jeunes qui partent en vacances révéle que parmi eux : • Un tiers part avec des amis, • 70% restent en France. • Parmi ceux qui vont en vacances á l’étranger, 20% partent avec des amis. 1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : Avec des amis Sans les amis Total En France Á l’étranger 36 Total 600 2. On choisit un jeune au hasard parmi ces 600 jeunes. On considére les événe- ments suivants : F : « Le jeune choisi reste en France » A : « Le jeune choisi part avec des amis ». a. Définir par une phrase les événements F, F∪A. b. Calculer les probabilités des événements suivants : F, F ∩A, F ∪A. (On écrira les résultats sous forme de fraction irréductible). 3. On choisit un jeune parmi ceux qui partent sans les amis. Déterminer la pro- babilité pour que ce jeune aille á l’étranger. EXERCICE 2 12 points Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = 3 4 ;4  par : f (x) = lnx x2 . 1. Déterminer f ′(x) et vérifier que f ′(x) = 1−2ln x x2 . 2. Pour x appartenant á I, résoudre l’inéquation : 1−2ln x > 0. En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de f ′(x) sur I. 3. Donner le tableau des variations de f et donner une valeur approchée á 10−2 prés du maximum. 4. Montrer, en utilisant le tableau des variations, que l’équation f (x) = 0,1 admet deux solutions dans I. Á l’aide d’une calculatrice, donner une valeur approchée, á 10−2 prés, de cha- cune de ces solutions. 5. Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans un repére orthogonal  O, − → ı , − →   (unités : 4 cm sur l’axe des abscisses, 10 cm sur l’axe des ordon- nées). Partie B Une petite entreprise fabrique et vend des boîtes de jeu. Baccalauréat STL Arts appliqués L’intégrale 2004 Lorsqu’elle vend x centaines de ces boîtes (x ⩽x ⩽4), le bénéfice net B(x) réalisé s’exprime en milliers d’euros, par : B(x) = lnx x2 . Déterminer : 1. Le nombre minimum de boîtes de jeu á vendre pour que ce soit rentable. 2. Le nombre de boîtes de jeu á vendre pour que le bénéfice soit maximal. Quel est alors ce bénéfice ? 3. Le nombre de boîtes de jeu á vendre si l’entreprise veut gagner au moins 100 euros (on utilisera une méthode graphique en faisant apparaître sur la courbe les tracés utiles). France 4 septembre 2003 Durée : 4 heures  STI Génie mécanique, génie des matériaux  France septembre 2003 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 5 points Partie A Le plan complexe P est rapporté au repére orthonormal  O, − → u , − → v  (unité gra- phique : 2 cm). On considére les points E, F et G d’affixes respectives : zE = 1+i  3 ; zF = 2zE ; zG = 3+i  3. 1. Écrire zE, zF et zG sous forme trigonométrique. 2. Placer les points E, F et G dans P . 3. Montrer que le triangle EFG est équilatéral. Le tracer. 4. Montrer que le point I  2 ; 4  3 3  est le centre du cercle C circonscrit au tri- angle EFG. Tracer C . Partie B On considére que le disque déterminé par C forme une cible décomposée en deux zones : ? une zone triangulaire noire nommée N. ? une zone blanche nommée B. On suppose que la probabilité, pour un tireur, d’atteindre N est 0,5 et celle de rater la cible est 0,2. Cible 1. a. Quelle est la probabilité d’atteindre la cible ? b. Quelle est la probabilité d’atteindre B ? 2. On considére un tireur qui tire sur la cible. S’il atteint B, il gagne 5 euros. S’il atteint N, il gagne 2 euros. S’il rate la cible, il doit payer 8 euros. Soit X la variable aléatoire qui á chaque tir associe le gain correspondant (po- sitif ou négatif). a. Définir la loi de probabilité de X . b. Calculer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il équitable ? c. Calculer la valeur arrondie á 10−2 prés de l’écart type de X . EXERCICE 2 5 points Par la suite, on désigne par I l’intervalle  0 ; π 2  . Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x de I, par f (x) = cosx +sin x. Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux L’intégrale 2004 1. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f puis la fonction dérivée seconde f ′′ de f . 2. a. Montrer que, pour tout nombre réel x de I, f ′′(x) < 0. b. En déduire le tableau de variations de f ′ sur I. c. Calculer f ′ π 4  . En déduire le signe de f ′(x) pour x appartenant á I. d. En déduire le tableau de variations de f sur I. 3. Tracer la courbe C représentant f dans le plan muni d’un repére orthogonal  O, − → u , − → v  . (Unités 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur celui des ordon- nées). 4. a. Montrer que, pour tout nombre réel x de I, [f (x)]2 = 1+sin2x. b. En déduire une primitive sur I de la fonction qui, á tout nombre réel x de I, associe [f (x)]2. 5. Soit V le volume du solide engendré par la rotation de C autour de l’axe des abscisses. Calculer V en unités de volume. (On rappelle que V = π π 2 0 [f (x)]2 dx). PROBLÉME 10 points Partie A 1. Étudier, en fonction du nombre réel x, le signe de x2 −1. 2. Étudier, en fonction du nombre réel x, le signe de ex −6. 3. Déduire des questions précédentes, en fonction du nombre réel x, le signe de (x2 −1)(ex −6). Partie B On considére les fonctions g et f définies, pour tout nombre réel x, par : g(x) = −2x3 +6x et f (x) = (x −1)2ex + g(x). 1. a. Calculer la limite de g en −∞. b. Calculer la limite de f en −∞. (On rappelle que lim x→−∞x2ex = 0  . 2. a. Montrer que, pour tout nombre réel x non nul, f (x) = xex x −2+ 1 x −2 x2 ex + 6 ex . b. En déduire la limite de f en +∞. 3. Montrer que, pour tout nombre réel x, f ′(x) = (x2 −1) ex −6 . 4. Déduire de la troisiéme question de la partie A le tableau de variations de f . 5. Soient C et Γ les courbes représentant respectivement f et g dans le plan muni d’un repére orthogonal  O, − → ı , − →   , (Unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur celui des ordonnées). France 6 septembre 2003 Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux L’intégrale 2004 a. Calculer la limite de f −g en −∞, b. En déduire que C et Γ sont asymptotes. c. Étudier les positions relatives de C et Γ et préciser uploads/Ingenierie_Lourd/ baccalaureat-2004.pdf

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