Correction du contrˆ ole commun no 2 Exercice 1 (7 points) La pes´ ee automatiq

Correction du contrˆ ole commun no 2 Exercice 1 (7 points) La pes´ ee automatique d’un lot de 20 barquettes d’un produit alimentaire a donn´ e les r´ esultats suivants (arrondis au gramme) : 300 ;311 ;315 ;308 ;311 ;317 ;308 ;309 ;311 ;312 ; 309 ;318 ;307 ;308 ;303 ;310 ;314 ; 313 ;310 ;319. 1. Recopier et compl´ eter le tableau d’effectifs de la s´ erie : Poids xi 300 303 307 308 309 310 311 312 313 314 315 317 318 319 Effectifs ni 1 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ECC 1 2 3 6 8 10 13 14 15 16 17 18 19 20 2. D´ eterminer la m´ ediane et les quartiles de la s´ erie. Justifier. L’effectif total est N = 20 (pair). Donc la m´ ediane est la demi-somme des deux valeurs centrales, la 10e et la 11e. Me = 310 + 311 2 = 310, 5. N 4 = 20 4 = 5. Q1 est la 5e valeur : Q1 = 308. 3N 4 = 60 20 = 15. Q3 est la 15e valeur : Q3 = 313. 3. Construire le diagramme en boˆ ıte de la s´ erie. 298 300 302 304 306 308 310 312 314 316 318 320 4. Rappeler les formules permettant de calculer la moyenne et l’´ ecart-type d’une s´ erie sta- tistique, puis, en utilisant le menu statistique de la calculatrice, donner la moyenne et l’´ ecart type de la s´ erie (aucun d´ etail de calcul n’est demand´ e). m = x1n1 + · · · + xpnp N = 1 20(300 × 1 + 303 × 1 + · · · + 319 × 1) = 310, 65 V = (f1x2 1 + · · · + fpx2 p) −(m)2 V = 1 20(3002 + 3032 + · · · + 3192) −(310, 65)2 V = 20, 7275 s = √ V s ≈ 4, 55 5. Un lot est accept´ e si les trois conditions suivantes sont remplies : — Le poids moyen m d’une barquette est de 310 g ` a 1 g pr` es ; — l’´ ecart-type s des poids est inf´ erieur ` a 5 g ; — au moins 80 % des poids sont dans l’intervalle [m −s; m + s] Qu’en est-il pour ce lot ? Il est clair que les deux premi` eres contraintes sont respect´ ees. Il reste ` a d´ eterminer le pourcentage de valeurs dans l’intervalle [m −s; m + s]. m −s ≈310, 65 −4, 55 ≈306, 1. m + s ≈310, 65 + 4, 55 ≈315, 2. Il y a 5 valeurs en dehors de l’intervalle [m −s; m + s], ce qui revient ` a dire qu’il y a 15 valeurs dans cet intervalle. 15 20 × 100 = 75. Il y a 75 % des poids dans l’intervalle [m −s; m + s]. On ne peut pas accepter ce lot ` a cause de la 3e contrainte. Exercice 2 (4,5 points) Dans le plan muni d’un rep` ere orthonorm´ e, on consid` ere les points A(−3; −2), B(3; 1) et C(−2; 3). On fera une figure que l’on compl` etera au fur et ` a mesure de l’exercice 1. Calculer les coordonn´ ees du point D tel que ABDC soit un parall´ elogramme. ABDC est un parall´ elogramme si et seulement si − − → CD = − − → AB. − − → AB 3+3 1+2  = 6 3  et − − → CD xD+2 yD−3  . D’o` u le syst` eme ( xD + 2 = 6 yD −3 = 3 , donc ( xD = 4 yD = 6 D a pour coordonn´ ees (4; 6). 2. (a) Placer le point E tel que − − → CE = 3− − → CB −2− − → AB. Lire les coordonn´ ees du point E sur le graphique. A B C D E Graphiquement, on constate que E a pour coordonn´ ees (1; −9). (b) Retrouver les coordonn´ ees de E par le calcul. − − → CB 3+2 1−3  = 5 −2  et − − → AB 6 3  , donc 3− − → CB −2− − → AB 15−12 −6−6  = 3 −12  . − − → CE xE+2 yE−3  . Or − − → CE = 3− − → CB −2− − → AB, d’o` u ( xE + 2 = 3 yE −3 = −12 , donc ( xD = 1 yD = −9 E a pour coordonn´ ees (1; −9). 3. Montrer que les points B, D et E sont align´ es. − − → BD 4−3 6−1  = 1 5  et − − → BE 1−3 −9−1  = −2 −10  On constate que − − → BE = −2− − → BD, donc − − → BE et − − → BD sont colin´ eaires, donc les points B, D et E sont align´ es. Exercice 3 (3,5 points) On se place dans un rep` ere du plan. On consid` ere les points A(−2; 4), B(3; 1) et C(−1; 2), et la droite ∆d’´ equation 2x + y −7 = 0. 1. Justifier que ∆passe par B. 2xB + yB −7 = 2 × 3 + 1 −7 = 0. Donc B ∈∆. 2. Donner les coordonn´ ees d’un vecteur directeur de ∆. ∆est dirig´ ee par le vecteur − → u −1 2 ! . 3. Montrer que les doites (AC) et ∆sont parall` eles. − → AC xC −xA yC −yA ! , donc − → AC 1 −2 ! . On a − → u = −− → AC, donc − → AC et − → u sont colin´ eaires, et (AC)//∆. 4. D´ eterminer une ´ equation de la droite (d) parall` ele ` a (BC) passant par A. (d) est la droite passant par A et dirig´ ee par le vecteur − − → BC. Soit M(x; y) un point du plan. M(x; y) ∈(d) ssi − − → AM x + 2 y −4 ! et − − → BC −4 1 ! sont colin´ eaires. M(x; y) ∈(d) ssi (x + 2) × 1 −(y −4) × (−4) = 0, soit x + 4y −14 = 0. Une ´ equation de (d) est x + 4y −14 = 0. Exercice 4 Soit ABCD un parall´ elogramme. Les points E, F et G sont d´ efinis par : − − → DE = 2− − → AD, − − → CF = 3 2 − − → CD, et 3− − → GD + − − → GC = − → 0 . 1. 3− − → GD + − − → GC = − → 0 3− − → GD + − − → GD + − − → DC = − → 0 4− − → GD + − − → DC = − → 0 4− − → DG = − − → DC − − → DG = 1 4 − − → DC 2. Figure b A b B b C b D b G b E b F b L 3. − − → FE = − − → FC + − − → CD + − − → DE = −3 2 − − → CD + − − → CD + 2− − → AD = −1 2 − − → CD + 2− − → AD = 1 2 − − → AB + 2− − → AD En effet, − − → CD = −− − → AB car ABCD est un parall´ elogramme. 4. − → AG = − − → AD + − − → DG = − − → AD + 1 4 − − → DC = − − → AD + 1 4 − − → AB = 1 4 − − → AB + − − → AD De mˆ eme, comme ABCD est un parall´ elogramme, − − → DC = − − → AB. 5. On remarque que − − → FE = 2− → AG. Les vecteurs − − → FE et − → AG sont colin´ eaires, donc (AG)//(FE). 6. Question bonus : Les points E, L et B sont align´ es si et seulement si les vecteurs − → EL et − − → EB sont colin´ eaires. On va exprimer ces deux vecteurs en fonction de − − → AB et − − → AD. − → EL = − → EA + − → AL = − − → ED + − − → DA + m− → AG = −2− − → AD −− − → AD + m 1 4 − − → AB + − − → AD  = m 4 − − → AB + (m −3)− − → AD − − uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-commun-math-2-lycee-pissarro-corrige.pdf

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Ingénierie points coordonn´ moyenne colin´ exercice
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