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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/327582107 METHODE DES ELEMENTS FINIS Book · September 2018 CITATIONS 0 READS 158 1 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Determination of the in-plane shear rigidity modulus of a carbon non-crimp fabric from bias-extension data test View project Deghboudj Samir Université de Tébessa 38 PUBLICATIONS 21 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Deghboudj Samir on 11 September 2018. The user has requested enhancement of the downloaded file. République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Larbi Tébessi-Tébessa Faculté des Sciences et de la Technologie Département de Génie Mécanique POLYCOPIE DE COURS METHODE DES ELEMENTS FINIS Présenté par : Dr : DEGHBOUDJ Samir Année 2017-2018 Préface Méthode des Eléments Finis Dr. Deghboudj Samir Département de Génie Mécanique - Université Larbi Tébessi de Tébessa • Préface La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode numérique utilisée pour résoudre certains des problèmes de la physique. C'est une méthode qui permet de déterminer une solution approchée sur un domaine spatial, c'est-à-dire qui permet de calculer un champ (de scalaires, de vecteurs, de tenseurs) qui correspond à certaines équations et à certaines conditions imposées. La méthode consiste à découper le domaine spatial en petits éléments, également appelés mailles, et à rechercher une formulation simplifiée du problème sur chaque élément, c'est-à-dire à transformer le système d'équations quelconque en un système d'équations linéaires. Chaque système d'équations linéaires peut se représenter par une matrice. Les systèmes d'équations pour tous les éléments sont ensuite rassemblés, ce qui forme une grande matrice ; la résolution de ce système global donne la solution approchée au problème. Cet ouvrage est principalement inspiré du cours de méthode des éléments finis destiné aux étudiants en Master de la spécialité génie mécanique et ceux des cursus proches tels que le génie civil et l’hydraulique qui poursuivent des études de Master. Il représente en fait l’effort de plusieurs années d’enseignement. Le contenu et la progression de cet ouvrage ont été conçus avec trois objectifs : 1. Apporter à l’étudiant de la discipline les éléments et les outils nécessaires pour résoudre numériquement des problèmes de la mécanique des solides. 2. Soutenir et contribuer aux efforts de l’enseignement de cette discipline (MEF) en mettant à la disposition de l’étudiant un document rigoureux et pratique. 3. Présenter aux étudiants, cette méthode ainsi que sa capacités et ses limites pour qu’ils enrichissent leurs culture dans le domaine. Ce document est divisé en cinq chapitres : le premier a été consacré à un aperçu sur les méthodes d’approximation. Le deuxième chapitre comporte une présentation détaillée de la méthode des éléments finis. Ainsi nous avons présenté les différents types et formes des éléments unidimensionnel (1D), bidimensionnel (2D) et tridimensionnels (3D). Dans le troisième nous avons présenté les techniques de l’approximation et de l’assemblage en considérant des éléments uni dimensionnel (1D). Préface Méthode des Eléments Finis Dr. Deghboudj Samir Département de Génie Mécanique - Université Larbi Tébessi de Tébessa Nous avons aussi examiné dans le quatrième chapitre les éléments à forces axiales. Pour terminer le cinquième chapitre a été consacré à la mise en œuvre de la méthode des éléments finis avec des cas d’applications sur les éléments finis barres pour la traction des poutres, les éléments finis barres pour la flexion des poutres et en fin les éléments finis treillis en 2D. Table des Matières • Table des Matières Chapitre 1 : Méthodes d’approximation 1.1 Méthodes analytiques …………………………………………………………………….…………………………………………… 1 1.1.1 Modèle mathématique……………………………………………………..………………………………………… 1 1.1.2 Formulation………………………………………………………………………………………………………………… 1 1.1.3 Equations différentielles ………………………………….…………………………………………….……… 2 1.2 Classification des équations aux dérivées partielles…………………………………………………………… 2 1.3 Méthodes d’approximation ……………………………………………………………………………………………………..… 4 1.3.1 Définition de l’approximation………………………………………………………………………….………… 4 1.3.2 Approximation d’une grandeur physique……………………………………………………….……… 4 1.3.2 Méthode des résidus pondérés………………………………………………………………….……………… 5 Chapitre 2 : Introduction à la méthode des éléments finis 2.1 Introduction…………………………………………………………………………………………………………………………………… 12 2.2 Présentation de la méthode des éléments finis……………………………………………………………….…… 12 2.3 Domaines d’application de la méthode des éléments finis……..………………………………………….. 12 2.4 Principe de la méthode des éléments finis………………………………………………………………..………… 14 2.5 Formes classique des éléments………………………………………………………………………………………………… 15 2.6 Règles de partition du domaine en éléments………………………………………………………….…………… 16 2.7 Principe de l’approximation par éléments finis…………………………………………………………………… 14 2.7.1 Elément fini uni dimensionnel (1D)………………………………………………………..……………… 17 2.7.2 Elément fini bi dimensionnel (2D)…………………………….…………………….……………………… 24 2.8 Construction des fonctions d’interpolation……………………………………………………….….……………… 26 2.9 Elément de référence………………………………………………………………………………………………….……………… 28 2.9.1 Intérêt des éléments de référence……………………………………………………………………………… 28 2.9.2 Eléments de référence classiques…………………………………………………………………….………… 28 2.9.3 Construction des fonctions d’interpolation sur l’élément de référence ……….… 30 Chapitre 3 : Élément fini à une dimension (1 D) 3.1 Introduction……………………………………………………………………………………………………………………….………… 37 3.2 Application de la méthode des éléments finis ………………………………………………………….………… 37 3.2.1 Discrétisation……………………………………………………………………………………………..….……………… 37 3.2.2 Règles de placement des nœuds………………………………………………………………..……………… 37 3.2.3 Fonctions d’interpolation…………………………………………………………………………………………… 37 3.2.4 Equation générale de la fonction d’interpolation ………………………………………………… 39 3.3 Exemple d’utilisation d’un élément fini 1D………………………………………………………………….………… 44 4.3 Matrice de rigidité élémentaire……………………………………………………………………………………………… 50 Table des Matières 5.3 Formation de la matrice de rigidité globale (GSM)……………………………………………..…………… 51 Chapitre 4 : Élément à forces axiales 1.4 Introduction……………………………………………………………………………………………………………………………….… 57 2.4 Modèle uni directionnel……………………………………………………………………………………………….………….… 57 3.4 Principe de la méthode de l’énergie potentielle minimale …………………………………………….… 58 Chapitre 5 : Mise en œuvre de la méthode des éléments finis 5.1 Introduction …………………………………………………………………………………………………………………………….… 69 5.2 Element fini barre pour la traction des poutres ……………………………………………………….….….… 69 5.2.1 Mise en équation par le principe fondamental de la dynamique ……..…… 69 5.2.2 Solution approchée par la méthode des éléments finis.………………………… 71 5.3 Element fini barre pour la flexion des poutres …………………………….…………………………………… 78 5.4 Element fini treillis………………………………………………………………………………………………………………… 83 5.4.1 Interpolation sur l’élément fini barre……………………………………………………… 83 5.4.2 Elément treillis (2D)…………………………………………………………………….………………… 85 Chapitre 1 : Méthodes d’approximation 1 Chapitre 1 Méthodes d’approximation 1.1 Méthodes analytiques Lors de la résolution d’un problème physique par les méthodes analytiques, on suit en général les étapes suivantes : 1.1.1 Modèle mathématique Pour écrire la formulation d’un problème, on adopte des modèles mathématiques c'est- à-dire une approche schématique du problème. Cette approche diffère selon le but à atteindre. Par exemple pour analyser le mouvement de la terre autour du soleil la terre et le soleil sont approchés par des points matériels tandis que si on veut étudier le mouvement de la terre par rapport à son axe, la terre n’est plus approchée par un point mais par une sphère par exemple. Le modèle mathématique est un point matériel dans la première approche et une sphère dans la seconde. 1.1.2 Formulation Une fois le modèle adopté, on écrit sa formulation, c'est-à-dire les équations qui régissent le problème. Le problème est décrit en général par des équations aux dérivées partielles. Exemples : Quelques problèmes physiques rencontrés et qui sont régis par des équations de ce type: a) Equation de la flexion simple   ² = () (1.1) E: module de Young I : moment quadratique par rapport à l’axe y : déformée M(x) : moment de flexion b) Corde vibrante Son équation est donnée par   ² = ²  ² (2.1) ) t , x ( y y = : représente la vibration transversale d’un point d’abscisse x de la corde à l’instant t. c) Propagation de la chaleur L’équation de la chaleur est donnée par :   = ∇² (3.1) Chapitre 1 : Méthodes d’approximation 2 ) t , x ( T T = est la température en un point x du milieu unidimensionnel à l’instant t,  est la constante de diffusion, x ∂ ∂ = ∇ est le laplacien. d) Equation de Laplace (ou du potentiel) L’équation est donnée par : ∇²φ = 0 (4.1) On retrouve cette équation, représentant un phénomène stationnaire, dans de nombreuses applications : en transfert thermique, φ représente la température T. 1.1.3 Equations différentielles Une équation différentielle représente une relation entre une ou plusieurs fonctions et leurs dérivées Exemple : y +  +  = 0  + 5 = 0 L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré maximal de la différentiation au quel une des fonctions à été soumise. Exemple : L’ordre de   + 5 est égal à 1 L’ordre de y +   +  = 0 est égal à 2 Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques pour décrire des phénomènes physiques et biologiques. Exemple : L’équation de mouvement : σ  +   = ρ   ² (5.1) Beaucoup de phénomènes physiques, en mécanique et électricité par exemple se ramènent à des équations différentielles. Exemple : si (t) est le temps, (y) est la position d’un mobile à l’instant (t) , y(t) est la fonction qui à l’instant (t) associe la position (y) d’un mobile,  = sera définit comme étant la vitesse de ce mobile et y = ² ² son accélération. 1.2 Classification des équations aux dérivées partielles Généralement les équations aux dérivées partielles (notées EDP) du second ordre sont classées en trois catégories appelées elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Chapitre 1 : Méthodes d’approximation 3 L’équation la plus utilisée est l’équation du second ordre, à deux variables indépendantes x et y et qui se présente sous la forme φ ² + uploads/Ingenierie_Lourd/ book-mef-deghboudj-samir 1 .pdf

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