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MATHéMATIQUES 1er S v 10/10 Mathématiques 1ère S – V10/10– page 1 © Complétude

MATHéMATIQUES 1er S v 10/10 Mathématiques 1ère S – V10/10– page 1 © Complétude 2010/2011 SOMMAIRE Sommaire…………………………………………………………………….1 Partie A : COURS…………………………………..............................3 Chapitre I : Equations et inéquations du second degré……………………………...4 Chapitre II : Fonctions numériques………………………………………………….8 Chapitre III : Limites et comportements asymptotiques...…………………………15 Chapitre IV : Dérivation et applications………………………………...…………19 Chapitre V : Suites numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………..…26 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres………………………………….…….……32 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..36 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………………………………...40 Chapitre X : Géométrie dans l’espace………………………………………….….44 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………….…….48 Partie B : EXERCICES………………………………………….….51 Chapitre I : Equations et inéquations du second degré………………………….…52 Chapitre II : Fonctions numériques…………………………….………………….53 Chapitre III : Limites et comportements asymptotiques………………….………..54 Chapitre IV : Dérivation et applications……………………………………..…….55 Chapitre V : Suites numériques……………………………………………………56 Chapitre VI : Statistiques et probabilités…………………………………………..58 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres……………………………………….…….60 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..62 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan……………………………………...…63 Chapitre X : Géométrie dans l’espace……………………………………………..64 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………………..66 Partie C : CORRIGES…………………………………………….…69 Chapitre I : Equations et inéquations du second degré…………………………....70 Chapitre II : Fonctions numériques………………………………………………..70 Chapitre III : Limites et comportements asymptotiques………………………..…71 Chapitre IV : Dérivation et applications………………….……….………………71 Chapitre V : Suites numériques…………………………..………………………..72 Chapitre VI : Statistiques et probabilités……………..….……………………..…72 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres……………………………...…….……….73 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie………………………….………73 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………….….…….……….…..74 Chapitre X : Géométrie dans l’espace…………………………..………..……….75 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………….….…….…..75 Mathématiques 1ère S – V10/10– page 2 © Complétude 2010/2011 Partie A : COURS Mathématiques 1ère S – V10/10– page 3 © Complétude 2010/2011 Chapitre I : EQUATIONS ET INEQUATIONS DU SECOND DEGRE I. FONCTIONS POLYNOMES 1° Définitions Une fonction polynôme est une fonction P de ℝ dans ℝ définie par : 0 1 1 - n 1 - n n n a + x a ... x a x a = P(x) + + + Les nombres a0, a1, ... , an sont des nombres réels appelés les coefficients de P. Un polynôme est nul pour tout x si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Le plus grand entier n tel que an ≠ 0 est appelé le degré de P. On le note deg (P). On dit alors que P est de degré n. 2° Egalité de deux fonctions polynômes P = Q signifie que : 1) deg P = deg Q 2) les coefficients des termes de même degré de P et de Q sont égaux 3° Racines d’une fonction polynôme Soit P une fonction polynôme de degré n, n ≥ 1. a - Définition Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Déterminer les racines de P revient alors à résoudre l’équation P(x) = 0. b - Théorème Si le nombre réel a est une racine de P , on peut factoriser P (polynôme de degré n) par (x-a), c’est-à-dire qu’il existe une fonction polynôme Q de degré (n-1) telle que pour tout réel x, P(x) = (x-a) Q(x). II. TRINOME 1° Définitions Un trinôme est un polynôme du second degré, c’est-à-dire de la forme : P(x) = ax +bx +c 2 avec a ≠ 0. Résoudre l’équation du second degré P(x) = 0, c’est chercher l’ensemble S des racines de P. Un trinôme peut toujours être mis sous forme canonique : ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 2 4a 4ac - b 2a b + x a = a c + x a b + x a = c + bx + ax Cela permet de factoriser le trinôme quand c’est possible. Mathématiques 1ère S – V10/10– page 4 © Complétude 2010/2011 2° Calcul des racines Soit a un réel non nul, b et c des réels quelconques. On appelle discriminant de l’équation du second degré le réel noté Δ (lire « delta »), défini par : Δ = b2 - 4ac. 0 = c + bx + ax 2 On trouve les solutions de l’équation (ou racines du trinôme) grâce aux formules suivantes : Δ = b2 - 4ac Si Δ < 0, P n’admet pas de racines réelles Si Δ = 0, P admet une racine double : x b 2a 0 = − Si Δ > 0, P admet deux racines distinctes : x b 2a 1 = − − Δ et x b 2a 2 = − + Δ Les équations bicarrées Cette méthode permet aussi de résoudre les équations “bicarrées”, c'est-à-dire les équations de la forme Q(x) = 0 avec Q(x) = ax4 + bx2 + c. On pose Y = x2 .On a alors Q(x) = P(Y), où P est un polynôme du second degré dont on peut facilement trouver les éventuelles racines. Si P admet des racines Y1 et Y2, il suffit alors de résoudre les équations : x² = Y1 et x² = Y2 3° Somme et produit des racines Si le trinôme admet deux racines distinctes x P(x) = ax + bx + c 2 1 et x2, alors : La somme des racines est : S = x1+ x2 = a b − Le produit des racines est : P = x1.x2 = a c x1 et x2 sont donc solutions de l'équation : x2 - Sx + P = 0. 4° Factorisation Considérons le trinôme du second degré P(x) = ax + bx + c 2 Si P a deux racines x1 et x2 (Δ>0), alors pour tout réel x, P(x)=a(x-x1)(x-x2). Si P a une seule racine x0 (Δ=0), alors pour tout réel x, P(x)=a(x-x0) 2. Si P n’a aucune racine (Δ<0), alors P(x) n’est pas factorisable. 5° Signe La discussion du signe, comme celle de l'existence des racines, se fait sur le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, P(x) a le signe de a pour tout x. Si Δ = 0, P(x) a le signe de a sauf en x =−b 2a où P s’annule. Si Δ > 0, alors : P(x) est du signe de a à l’extérieur des racines P(x) est du signe opposé à celui de a entre les racines Mathématiques 1ère S – V10/10– page 5 © Complétude 2010/2011 III. INTERPRETATION GEOMETRIQUE Soit P la représentation graphique du trinôme P(x) . = ax + bx + c 2 Déterminons toutes les situations possibles de la parabole P par rapport à l’axe des abscisses selon les signes de Δ et de a. 1° Δ > 0 Le trinôme P admet deux racines x1 et x2, la parabole P coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses x1 et x2. L’orientation de la parabole P dépend du signe de a. a > 0 y x x2 x1 O P a < 0 y x x2 x1 O P 2° Δ = 0 Le trinôme P admet une racine double x0, la parabole P coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse x0. L’orientation de la parabole P dépend du signe de a. a > 0 y x x0 O P a < 0 y x x0 O P 3° Δ < 0 Le trinôme P n’admet aucune racine, la parabole P ne coupe pas l’axe des abscisses. L’orientation de la parabole P dépend du signe de a. a > 0 y x O P a < 0 y x O P Mathématiques 1ère S – V10/10– page 6 © Complétude 2010/2011 IV. FRACTIONS RATIONNELLES Une fraction rationnelle est une fraction P x Q x ( ) ( ) où P et Q sont deux polynômes. Une telle fraction est définie pour tous les x tels que Q(x) ≠ 0. Les calculs algébriques sur les fractions rationnelles obéissent aux mêmes règles de calcul que les fractions numériques. Pour une fraction rationnelle, on peut factoriser le numérateur et le dénominateur et simplifier par un facteur commun éventuel. Mais il ne faut pas oublier que la fraction obtenue n’est pas définie pour les mêmes valeurs que la fraction initiale. Exemple : Mathématiques 1ère S – V10/10– page 7 © Complétude 2010/2011 ( )( ) ( )( ) 1. = pour x définie est mais -1 = x si définie pas est n' 1 x 2 x f(x) 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x = f(x) -1 et x 1 x si définie est 1 x 2 x x = f(x) 2 2 + + = + + = + − + − ≠ ≠ − − + Chapitre II : FONCTIONS NUMERIQUES I. DEFINITION On appelle fonction de ℝ dans ℝ (ou fonction numérique à variable réelle) une relation f de ℝ dans ℝ qui à tout nombre réel fait correspondre un nombre réel et un seul, noté f(x). On note : f : ℝ → ℝ x a f(x) II. ETUDE DE FONCTIONS 1° Domaine de définition Soit I un intervalle de ℝ. Une fonction de uploads/Ingenierie_Lourd/ 1s-mathh.pdf