Compléments d’algèbre linéaire -  Sommaire 1. Familles de vecteurs 1 1.1. Fam

Compléments d’algèbre linéaire -  Sommaire 1. Familles de vecteurs 1 1.1. Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . 1 1.3. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Sous-espaces vectoriels 2 2.1. Somme de sous-espaces vectoriels . . . 2 2.2. Base adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3. Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4. Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . 3 3. Trace 4 3.1. Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Trace de deux matrices semblables . . . 5 3.3. Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . 5 4. Transposée d’une matrice 5 4.1. Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2. Opérations sur les transposées . . . . . 6 4.3. Matrices symétriques et antisymétriques 6 Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur Š (‘ ou ‚), de dimension finie ou non. Les différentes parties de ce chapitre, formé de compléments, sont indépendantes. 1. Familles de vecteurs I désigne un ensemble d’indices, non nécessairement fini. Par exemple {1, 2, . . . , n},  , ‘ ... F désigne la famille des (ui)i∈I 1.1. Famille libre Définition : F est libre ⇔toute sous-famille finie de F est libre. C’est à dire : ∀J ⊂I, J finie P j∈J αj uj = 0 ⇒∀j ∈J, αj = 0 Exemple : Dans Š [X], (Xn)n∈ est une famille libre. Théorème : Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré est libre. Démonstration : En fait, cela signifie que les polynômes, non nuls, sont de degrés différents deux à deux. Si on considère une combinaison linéaire, le coefficient du polynôme de plus haut degré est nécessai- rement nul ! Et donc tous les coefficients sont nuls, la famille est libre ! 1.2. Famille génératrice Définition : F est génératrice ⇔tout vecteur de E est combinaison linéaire de vecteurs de F . C’est à dire : ∀u ∈E, ∃J ⊂I, J finie ∃  αj  j∈J tel que u = P j∈J αj uj Exemple : Dans Š [X], (Xn)n∈ est aussi une famille génératrice. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr -  Compléments d’algèbre linéaire 1.3. Base Définition : F est une base ⇔F est génératrice et libre. Exemple : Dans Š [X], (Xn)n∈ est donc aussi une base de Š [X]. C’est la base canonique de Š [X]. Théorème : Plus généralement, dans Š [X], une famille étagée complète, c’est à dire une famille (P k)k∈ avec P k de degré k, est aussi une base de Š [X]. 1.4. Propriétés • Ceci étend bien les définitions en dimension finie. • Toute sous-famille d’une famille libre est libre. • Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice. • ϕ : E →F linéaire, (ui)i∈I génératrice de E ⇒(ϕ (ui))i∈I est génératrice de Im(E) Théorème : (ui)i∈I libre (u, (ui)i∈I) liée       ⇒u est combinaison linéaire des (ui)i∈I Démonstration : Une liaison contenant des coefficients non nuls contient nécessairement u avec un coefficient non nul... On écrit : λ u + P i∈I λi ui = 0 Si λ = 0, alors P i∈I λi ui = 0, mais comme cette famille est libre, chaque λi est nul, ce qui est impossible. Si λ , 0, alors : u = −P i∈I λi ui λ , ce qui prouve le résultat annoncé. Théorème : L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre. Démonstration : P j∈J αj ϕ  uj  = 0 ⇒ϕ       P j∈J αj uj      = 0 ⇒P j∈J αj uj = 0 ⇒∀j ∈J, αj = 0 2. Sous-espaces vectoriels 2.1. Somme de sous-espaces vectoriels Définition : E un Š -espace vectoriel, (F 1, F 2, . . . , Fn) des sous-espaces vectoriels, la somme F de ces sous-espace est : F = {u ∈E, u = u1 + u2 + · · · + un; u1 ∈F 1, u2 ∈F 2, . . . , un ∈Fn} On la note : F = F 1 + F 2 + · · · + Fn. Définition : Si, de plus, les ui sont uniques, on dit que la somme F est directe. On la note alors : F = F 1 ⊕F 2 ⊕· · · ⊕Fn. Définition : On dit q ue F 1 et F 2 sont supplémentaires dans E si et seulement si E = F 1 ⊕F 2. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr Compléments d’algèbre linéaire -  2.2. En dimension fine, base adaptée à une somme directe Théorème : En dimension finie, si F = F 1 ⊕F 2 ⊕· · · ⊕Fn, on obtient une base de F en mettant bout à bout les bases de F 1, F 2, . . . , Fn. Cette base est appelée base adaptée de F à la somme directe. Démonstration : On va le montrer pour n = 2, F = F 1 ⊕F 2, mais le principe de la démonstration reste de même. On considère donc une famille F de vecteurs, obtenue en mettant bout à bout une base F1 de F 1 et une base F2 de F 2 ; F = F1 ∪F2. On va d’abord montrer que F est génératrice. Soit u ∈F, alors, u = u1 + u2, avec u1 ∈F 1 et u2 ∈F 2. Donc u1 ∈Vect (F1) ⊂Vect (F ) et u2 ∈Vect (F2) ⊂Vect (F ). Ce qui prouve que u ∈Vect (F ). La famille est bien génératrice. On va maintenant montrer que la famille est libre. On utilise les mêmes notations. Si u = 0, avec u = u1 + u2, alors u1 = u2 = 0, puisque la somme est directe. u1 = 0 prouve que ses coefficients dans la base F1 sont nuls, de même, u2 = 0 prouve que ses coeffi- cients dans la base F2 sont nuls. Comme les coefficients de u dans la famille F sont ceux de u1 dans la base F1 puis ceux de u2 dans la base F2, ils sont tous nuls. La famille est bien libre, ce qui termine la démonstration. 2.3. Hyperplan d’un espace vectoriel de dimension finie Définition : E un espace vectoriel de dimension n, F est un hyperplan de E ⇔F est un sous-espace vectoriel de E de dimension n −1. Théorème : E, de dimension n, étant muni d’une base B, F est un hyperplan de E ⇔F admet une équation du type a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0, avec, bien sûr, les ai non tous nuls. Démonstration : L’application qui, à u, de coordonnées (x1, x2, . . . , xn) dans B, associe : a1x1 + a2x2 + · · · + anxn est linéaire de rang 1, son noyau est donc de dimension n −1, ce qui prouve la réciproque. Pour le sens direct, considérons une base de F, de dimension n −1, qu’on complète par un n-ème vecteur pour obtenir une base B ′ de E. Dans cette base, l’équation de F est x′ n = 0. Les formules de changement de base nous donnent x′ n = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn où les ai sont la dernière ligne de l’inverse de passage de B vers B ′. Ce qui démontre l’implication dans le sens direct. Exemple : En dimension 2, les hyperplans sont les droites vectorielles ! En dimension 3, les hyperplans sont simplement les plans. Théorème : F est un hyperplan de E si et seulement si les supplémentaires de F dont des droites vectorielles. 2.4. Sous-espaces stables par un endomorphisme Définition : E un Š -espace vectoriel, ϕ un endomorphisme de E, F un sous-espace vectoriel de E. F est stable par ϕ ⇔∀u ∈F, ϕ(u) ∈F Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr -  Compléments d’algèbre linéaire Définition : A1 ∈Mp1 (Š ), A2 ∈Mp2 (Š ),. . ., Ak ∈Mpk (Š ), et les O sont des matrice (en général rectangulaires) nulles, avec bien sûr : p1 + p2 uploads/Ingenierie_Lourd/ chap-01-complement-algebre-lineaire-pdf.pdf

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