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ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 1 Chapitre 4 – Algèbre relationnelle 1. I

ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 1 Chapitre 4 – Algèbre relationnelle 1. Introduction L'algèbre relationnelle est un support mathématique cohérent sur lequel repose le modèle relationnel. L'objet de cette section est d'aborder l'algèbre relationnelle dans le but de décrire les opérations qu'il est possible d'appliquer sur des relations pour produire de nouvelles relations. L'approche suivie est donc plus opérationnelle que mathématique. On peut distinguer trois familles d'opérateurs relationnels : Les opérateurs unaires (Sélection, Projection) :  ce sont les opérateurs les plus simples, ils permettent de produire une nouvelle table à partir d'une autre table. Les opérateurs binaires ensemblistes (Union, Intersection, Différence) :  ces opérateurs permettent de produire une nouvelle relation à partir de deux relations de même degré et de même domaine. Les opérateurs binaires ou n-aires (Produit cartésien, Jointure, Division) :  ils permettent de produire une nouvelle table à partir de deux ou plusieurs autres tables. Les notations ne sont pas standardisées en algèbre relationnelle. Ce cours utilise des notations courantes, mais donc pas forcément universelles. 2. Sélection Définition 1 -sélection- La sélection (parfois appelée restriction) génère une relation regroupant exclusivement toutes les occurrences de la relation R qui satisfont l'expression logique E, on la note σ(E)R. Il s'agit d'une opération unaire essentielle dont la signature est : relation × expression logique → relation En d'autres termes, la sélection permet de choisir (i.e. sélectionner) des lignes dans le tableau. Le résultat de la sélection est donc une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R. Si R est vide (i.e. ne contient aucune occurrence), la relation qui résulte de la sélection est vide. Le tableau 2 montre un exemple de sélection. Tableau 1 : Exemple de relation Personne Numéro Nom Prénom 5 Durand Caroline ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 2 1 Germain Stan 12 Dupont Lisa 3 Germain Rose-Marie Tableau 2 : Exemple de sélection sur la relation Personne du tableau 3.5 : σ(Numéro≥5)Personne Numéro Nom Prénom 5 Durand Caroline 12 Dupont Lisa 3. Projection Définition 2 -projection- La projection consiste à supprimer les attributs autres que A1,… An d'une relation et à éliminer les n-uplets en double apparaissant dans la nouvelle relation ; on la note Π(A1… An)R. Il s'agit d'une opération unaire essentielle dont la signature est : relation × liste d'attributs → relation En d'autres termes, la projection permet de choisir des colonnes dans le tableau. Si R est vide, la relation qui résulte de la projection est vide, mais pas forcément équivalente (elle contient généralement moins d'attributs). Le tableau 3 montre un exemple de sélection. Tableau 3 : Exemple de projection sur la relation Personne du tableau 1 : Π(Nom)Personne Nom Durand Germain Dupont 4. Union Définition 3 -union- L'union est une opération portant sur deux relations R1 et R2 ayant le même schéma et construisant une troisième relation constituée des n-uplets appartenant à chacune des deux relations R1 et R2 sans doublon, on la note R1 ∪ R2. Il s'agit une opération binaire ensembliste commutative essentielle dont la signature est : relation × relation → relation ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 3 Comme nous l'avons déjà dit, R1 et R2 doivent avoir les mêmes attributs et si une même occurrence existe dans R1 et R2, elle n'apparaît qu'une seule fois dans le résultat de l'union. Le résultat de l'union est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R1 et R2. Si R1 et R2 sont vides, la relation qui résulte de l'union est vide. Si R1 (respectivement R2) est vide, la relation qui résulte de l'union est identique à R2 (respectivement R1). Le tableau 4 montre un exemple d'union. Tableau 4 : Exemple d'union : R = R1 ∪ R2 Relation R1 Relation R2 Relation R Nom Prénom Nom Prénom Nom Prénom Durand Caroline Dupont Lisa Durand Caroline Germain Stan Juny Carole Germain Stan Dupont Lisa Fourt Lisa Dupont Lisa Germain Rose-Marie Germain Rose-Marie Juny Carole Fourt Lisa 5. Intersection Définition 4 -intersection- L'intersection est une opération portant sur deux relations R1 et R2 ayant le même schéma et construisant une troisième relation dont les n-uplets sont constitués de ceux appartenant aux deux relations, on la note R1 ∩ R2. Il s'agit une opération binaire ensembliste commutative dont la signature est : relation × relation → relation Comme nous l'avons déjà dit, R1 et R2 doivent avoir les mêmes attributs. Le résultat de l'intersection est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R1 et R2. Si R1 ou R2 ou les deux sont vides, la relation qui résulte de l'intersection est vide. Le tableau 5 montre un exemple d'intersection. Tableau 5 : Exemple d'intersection : R = R1 ∩ R2 Relation R1 Relation R2 Relation R Nom Prénom Nom Prénom Nom Prénom Durand Caroline Dupont Lisa Durand Caroline Germain Stan Juny Carole Dupont Lisa Dupont Lisa Fourt Lisa Juny Carole ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 4 Germain Rose-Marie Durand Caroline Juny Carole 6. Différence Définition 5 -différence- La différence est une opération portant sur deux relations R1 et R2 ayant le même schéma et construisant une troisième relation dont les n-uplets sont constitués de ceux ne se trouvant que dans la relation R1 ; on la note R1 − R2. Il s'agit une opération binaire ensembliste non commutative essentielle dont la signature est : relation × relation → relation Comme nous l'avons déjà dit, R1 et R2 doivent avoir les mêmes attributs. Le résultat de la différence est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R1 et R2. Si R1 est vide, la relation qui résulte de la différence est vide. Si R2 est vide, la relation qui résulte de la différence est identique à R1. Le tableau 6 montre un exemple de différence. Tableau 6 : Exemple de différence : R = R1 − R2 Relation R1 Relation R2 Relation R Nom Prénom Nom Prénom Nom Prénom Durand Caroline Dupont Lisa Germain Stan Germain Stan Juny Carole Germain Rose-Marie Dupont Lisa Fourt Lisa Germain Rose-Marie Durand Caroline Juny Carole 7. Produit cartésien▲ Définition 6 -produit cartésien- Le produit cartésien est une opération portant sur deux relations R1 et R2 et qui construit une troisième relation regroupant exclusivement toutes les possibilités de combinaison des occurrences des relations R1 et R2, on la note R1 × R2. Il s'agit une opération binaire commutative essentielle dont la signature est : relation × relation → relation Le résultat du produit cartésien est une nouvelle relation qui a tous les attributs de R1 et tous ceux de R2. Si R1 ou R2 ou les deux sont vides, la relation qui résulte du produit cartésien est vide. Le nombre d'occurrences de la relation qui résulte du produit cartésien est le nombre d'occurrences de R1 multiplié par le nombre d'occurrences de R2. Le tableau 7 montre un exemple de produit cartésien. ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 5 Tableau 7 : Exemple de produit cartésien : R = Amie × Cadeau Relation Amie Relation Cadeau Relation R Nom Prénom Article Prix Nom Prénom Article Prix Fourt Lisa livre 45 Fourt Lisa livre 45 Juny Carole poupée 25 Fourt Lisa poupée 25 montre 87 Fourt Lisa montre 87 Juny Carole livre 45 Juny Carole poupée 25 Juny Carole montre 87 8. Jointure, thêta-jointure, équijointure, jointure naturelle 8.1. Jointure Définition 7 -jointure- La jointure est une opération portant sur deux relations R1 et R2 qui construit une troisième relation regroupant exclusivement toutes les possibilités de combinaison des occurrences des relations R1 et R2 qui satisfont l'expression logique E. La jointure est notée R1 ▷◁ER2. Il s'agit d'une opération binaire commutative dont la signature est : relation × relation × expression logique → relation Si R1 ou R2 ou les deux sont vides, la relation qui résulte de la jointure est vide. En fait, la jointure n'est rien d'autre qu'un produit cartésien suivi d'une sélection : R1 ▷◁E R2 = σE (R1 × R2) Le tableau 8 montre un exemple de jointure. Tableau 8 : Exemple de jointure : R = Famille ▷◁((Age ≤ AgeC) ∧ (Prix < 50)) Cadeau Relation Famille Relation Cadeau Relation R Nom Prénom Age AgeC Article Prix Nom Prénom Age AgeC Article Prix Fourt Lisa 6 99 livre 30 Fourt Lisa 6 99 livre 45 Juny Carole 42 6 poupée 60 Fourt Lisa 6 20 poupée 25 Fidus Laure 16 20 baladeur 45 Fourt Lisa 6 10 montre 87 10 déguisement 15 Juny Carole 42 99 livre 45 ISET ZAGHOUAN BASES DE DONNEES (DSI2) 6 Fidus Laure 16 99 poupée 25 Fidus Laure 16 20 montre 87 8.1. Thêta-jointure Définition 8 -thêta-jointure- Une thêta-jointure est une jointure dans laquelle l'expression logique E est une simple comparaison entre un attribut A1 de la relation R1 et un attribut A2 de la relation R2. La thêta-jointure est notée R1 ▷◁ER2. 8.2. Équijointure Définition 9 -équijointure- Une équijointure est une thêta-jointure dans laquelle l'expression logique E est un test d'égalité entre un attribut A1 de la relation R1 et un attribut A2 de la relation R2. L'équijointure uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-4 4 .pdf