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Cinétique du solide page 1 / 6 Cinétique du solide.doc Cinétique du solide 1. I

Cinétique du solide page 1 / 6 Cinétique du solide.doc Cinétique du solide 1. Introduction. C’est l’introduction de la masse dans la cinématique du solide : d’abord avec les vitesses, puis avec les accélérations. L’objectif étant de calculer le torseur cinétique, puis le torseur dynamique. La définition du torseur dynamique est la suivante : {D2/1} = A           ⌡ ⌠ P∈2 → a P,2/1.dm → δ A,2/1 = ⌡ ⌠ P∈2 → AP ^ → a P,2/1.dm Nous allons écrire que la masse est conservative : la masse du système ne dépend pas du temps. Puis on écrira que le système est un solide indéformable : son champs des vitesses est équiprojectif (champs de torseur). Ainsi, on en déduira les grandeurs d’inertie dont nous avons besoin (masse, centre de gravité, matrice d’inertie), ainsi que l’autre torseur utile (de passage) ; le torseur cinétique. Il s’agit dans ce chapitre d’introduire les grandeurs d’inertie dont nous allons avoir besoin plus tard. 2. La masse du solide. Par définition : m = ⌡ ⌠ P∈2 dm(P) (comme la notation ne le montre pas, c’est une intégrale volumique). Avec dm(P) = ρ.dv Et ρ = constante/t On montre que m = ρ.V = constante 3. Centre d’inertie d’un solide. 3.1 Définition. C’est le point pour lequel le torseur de l’action mécanique de la pesanteur sur un solide 2 s’écrit par un glisseur (moment nul). On le note G. {pes Æ 2} = A           ⌡ ⌠ P∈2 → g .dm → MA,pes→2 = ⌡ ⌠ P∈2 → AP ^ → g .dm avec → g = constant, on montre que le point G tel que → MG,pes→2 = → 0 est défini par : ⌡ ⌠ P∈2 → GP.dm = → 0 on peut ainsi déterminer sa position par : → OG = 1 m.⌡ ⌠ P∈2 → OP.dm Cinétique du solide page 2 / 6 Cinétique du solide.doc 3.2 Pour un solide composé de plusieurs solides élémentaires Si. Chaque solide si a pour masse mi et centre de gravité Gi. Le solide S = ∑ si a pour masse M = ∑ mi et pour centre de gravité → OG = 1 m.∑mi. → OGi 3.3 Théorème de Guldin. 3.3.1 Enoncé Ce théorème permet dans quelques cas particuliers de trouver très simplement une relation entre la position du centre d’inertie d’une ligne plane (ou d’une surface plane), de la longueur de la ligne (ou la surface) et de la l’aire (ou du volume) engendré par la rotation de la ligne (ou de la surface) autour d’un axe appartenant à son plan et ne coupant par la ligne (ou la surface). • Cas de la ligne plane : l’aire de la surface engendrée par une ligne plane tournant autour d’une droite de son plan, ne la traversant pas, est fonction de la longueur de cette ligne et du rayon du cercle décrit par le centre de ligne. S = 2.π.xg.L • Cas d’une surface plane : Le volume du domaine engendré par une surface plane tournant autour d’une droite de son plan ne la traversant pas est fonction de l’aire de la surface et du rayon du cercle décrit par le centre de surface. V = 2.π.xg.S L xg G S xg G V Cinétique du solide page 3 / 6 Cinétique du solide.doc 4. Opérateur d’inertie en un point d’un solide. 4.1 Définition. Dans le paragraphe qui consistera à calculer le torseur cinétique, nous allons rencontrer la quantité suivante : ⌡ ⌠ P∈2 → OP ^ (→ u ^ → OP).dm où O est un point fixe du solide 2. Cette grandeur est une application linéaire de → u telle que : → 2,O (→ u ) = ⌡ ⌠ P∈2 → OP ^ (→ u ^→ OP).dm nota → 2,O (→ u ) est un vecteur Le cours de mathématique permet de dire qu’il existe une matrice 3 x 3 notée [ ] 2,O , Telle que : → 2,O (→ u ) = ⌡ ⌠ P∈2 → OP ^ (→ u ^→ OP).dm = [ ] 2,O .[ ] → u Remarque : dans le cours le vecteur → u sera le vecteur rotation de 2 par rapport à un autre solide : → Ω2/1 4.2 Calcul de [ ] 2,O . Nous allons écrire la matrice [ ] 2,O en projection sur la base liée au solide 2, (O,→ x2,→ y2,→ z2). On cherche A, B, C, D, E et F tels que [ ] 2,O =       A -F -E -F B -D -E -D C (O,→ x2,→ y2,→ z2) La matrice est symétrique : on le montrera naturellement. • Méthode : vue la forme de la matrice on a : [ ] 2,O .[ ] → x2 = A.→ x2 - F.→ y2 - E.→ z2 De plus : [ ] 2,O .[ ] → x2 = → 2,O (→ x2) = ⌡ ⌠ P∈2 → OP ^ (→ x2 ^→ OP).dm Donc, on calcule ⌡ ⌠ P∈2 → OP ^ (→ x2 ^→ OP).dm et par identification on trouve A, F et E. On recommence avec [ ] 2,O .[ ] → y2 et [ ] 2,O .[ ] → z2 Cinétique du solide page 4 / 6 Cinétique du solide.doc • Résultat : on montre que. [ ] 2,O =       A -F -E -F B -D -E -D C (O,→ x2,→ y2,→ z2) Soit → OP =         x y z (→ x2,→ y2,→ z2) A = ⌡ ⌠ P∈2(y² + z²).dm = I(O,→ x2) Moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (O,→ x2) B = ⌡ ⌠ P∈2(x² + z²).dm = I(O,→ y2) Moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (O,→ y2) C = ⌡ ⌠ P∈2(y² + x²).dm = I(O,→ z2) Moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (O,→ z2) Ce moment d’inertie C est souvent noté J, ou I en sciences physiques ou dans certains sujets de concours quand il est le seul à servir. D = ⌡ ⌠ P∈2y.z.dm Produit d’inertie par rapport aux axes (O,→ y2), (O,→ z2) E = ⌡ ⌠ P∈2x.z.dm Produit d’inertie par rapport aux axes (O,→ x2), (O,→ z2) F = ⌡ ⌠ P∈2x.y.dm Produit d’inertie par rapport aux axes (O,→ x2), (O,→ y2) A, B, C, D, E, F sont en kg.m². Pour les calculs n’oublions pas que dm = ρ.dv (calcul d’intégrale volumique classique). Si le solide est constitué de plusieurs sous solides, la matrice d’inertie globale est égale à la somme des sous matrices si ces matrices sont écrites dans la même base et au même point. Nous verrons après comment changer le point d’écriture d’une matrice d’inertie, et de base. Cinétique du solide page 5 / 6 Cinétique du solide.doc 4.3 Propriétés de [ ] 2,O . 4.3.1 Repère principal d’inertie pour un solide. La matrice d’inertie est symétrique. On montre en mathématique que pour une telle matrice, les vecteurs propres sont orthogonaux. Il existe donc une base orthonormée, formée des vecteurs propres unitaires, dans laquelle l’opérateur d’inertie en un point est une matrice diagonale. Si cette base est associé au centre d’inertie, on parlera du repère central principal d’inertie. 4.3.2 Solide avec des éléments de symétrie. • Un plan de symétrie. Si, par exemple, (O,→ x2,→ y2) est plan de symétrie, alors on montre que : [ ] 2,O =       A -F 0 -F B 0 0 0 C (O,→ x2,→ y2,→ z2) remarque : si le solide est une plaque d’épaisseur négligeable : C = A + B • Deux plans de symétrie. On montre que le repère associé à ces deux plans de symétrie est le repère principal d’inertie : [ ] 2,O =       A 0 0 0 B 0 0 0 C (O,→ x2,→ y2,→ z2) • Un axe de révolution. Si le solide possède l’axe (O,→ z2) comme axe de révolution, alors on montre que : [ ] 2,O =       A 0 0 0 A 0 0 0 C (O,→ - ,→ - ,→ z2) avec C 2 = A - ⌡ ⌠ P∈2z².dm utile Cinétique du solide page 6 / 6 Cinétique du solide.doc 4.3.3 Formes courantes 4.4 Théorème de HUYGENS (changement de point). Ce théorème permet de passer de l’opérateur d’inertie en un point quelconque A à l’opérateur au centre de gravité G. Si on désire passer de en A vers B, il faudra écrire 2 fois le théorème en passant par G. Soit → OG =         a b c (→ x2,→ y2,→ z2) , alors [ ] 2,O = [ ] 2,G + [ ] G,O [ ] G,O est la matrice d’inertie en O d’un solide de masse m uploads/Ingenierie_Lourd/ cinetique-du-solide.pdf