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MR: LATRACH. Complexe 2020/2021 Lycée Pilote Ariana Il n'y a pas de plaisir plu

MR: LATRACH. Complexe 2020/2021 Lycée Pilote Ariana Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. 4 Math La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques. Page 1 Exercice 1 :Q.C.M. Choisir la ou (les) bonne(s) réponse(s). 1) L’ensemble des points M(z) tels que z= z est : a)une droite b)un cercle, c)une demi droite. 2) l’ensemble des points M(z) tels que z= z+ z _ est inclus dans : a)un cercle b) une demi-droite c)deux droites 3)Si z =  alors a) z _ =  z ; b) z _ =  z ; c) z _ =  z 4)Si z est un nombre complexe non nul d’argument   alors un argument de i z _ est a)   ; b)  ; c) /3 Exercice2 : Questions indépendantes : 1) Soient a, b et z trois nombres complexes distincts deux à deux et de module 1. Montrer que 2) Déterminer le(s) nombre(s) complexe(s) z vérifiant 3) a et b deux nombres complexes non nuls. Mque arg( a ) 2arg( b ) 4) Soient z1 et z2 deux nombres complexes distincts. Montrer que : a) b) . c) Alors zz’ = -1 Exercice 3: Soit Z = où z≠ -2i 1)Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que Z soit réel. 2)Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que Z soit imaginaire. 3)Déterminer l’ensemble des points M(z) ; Z=   4)Déterminer et construire l’ensemble des points M’(Z)tels que z=2. Exercice 4: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (o,  u ,  v )f : P-{A(-i)  P-{A:M (z)  M’(z’); z’= 1-z 1-iz 1) Déterminer l’ensemble E des points M (z) tels que z’ soit réel. 2) a) Montrer que pour tout zi, z’+i = -1+i z+i b) M que AM.AM’ = 2, et ( , ) + ( , ) = 3 4 (2) c) Déterminer l’image du cercle C de centre A et de rayon 1 par f. d) Déterminer l’image par f de l’ensemble -{A Où  : y = x-1 Exercice 5: 1°) Soit  un réel de [-,  ] et z le nombre complexe défini par: z = 1 2 [sin + i (1 - cos )] Déterminer, en fonction de, le module et un argument de z. 2°)  est un réel de] 0,  [. Déterminer le module et un argument des nombres complexes : a = z - i & b = z z i  3°) Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct. Soit les points M (a) et N (b). Déterminer les ensembles décrits respectivement par les points M et N lorsque  varie dans] 0,  [ Représenter ces ensembles. Exercice 6 : Déterminer l’ensemble des points M(z) ; tels que : a)arg(z-2i) =  4 (2) ;b)arg( z _ -i) = - 3 (2) ; c)arg (z-2i) = arg (-z) (2), f)arg(z-1+i) = arg(- z+1+i) (2) d)z-2i=z _ +i, e)(z+i)( z _ -i)=9 Exercice 7: Soit Z=1- 3+i(1+ 3) 1)Ecrire Z² sous forme algébrique 2)Déterminer le module et un argument de Z² 3)Déduire le module et un argument de Z 4)Donner les valeurs exactes de cos7 12 Exercice 8 (6points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, , ) On considère les points A, B et C d’affixes respectives et et la droite d’équation . MR: LATRACH. Complexe 2020/2021 Lycée Pilote Ariana Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. 4 Math La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques. Page 2 A tout point M d’affixe 2 z i  , on associe le point M’ d’affixe z’ = 1)a) Montrer que si z’ est imaginaire alors z est imaginaire b) Déterminer l’ensemble des points M du plan pour que M’ ( O, ) c) Montrer que si le point M’ appartient à alors M appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon . 2)a) Montrer que ' z i  pour tout  \ 2 z i £ . b)Montrer que OM = 2 c)Déduire que lorsque M varie sur le cercle de centre O et de rayon 2 , le point M’ varie sur une droite D que l’on précisera . 3)Dans la suite, on pose a)Montrer que la forme exponentielle de est b)En déduire l’écriture exponentielle de . c)Déterminer la valeur de pour que M’ d)En déduire que le point C’ associé au point C est le point d’intersection de et D . Exercice 9 : ( 8 points)Questions indépendantes Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,  1) Soit Z un nombre complexe d’argument tel que │ Z │=│ Z – 1 │ . Déterminer un argument de 1 – Z . 2) A(a) , B(b) et C(c) sont les sommets d’un triangle . Montrer que : ABC est équilatéral si et seulement si a² + b² + c² = ab + bc + ac. 3) On désigne par Zk = , k { 0 , 1 , 2 , 3 ,….,2019} . Calculer chacun des nombres complexes suivants : S = Z1 + Z5 + Z9 +……+Z2017 et T = Exercice 10 : 1°) Résoudre dans C, l’équation ( E) : z² - 2iz + 1 +2cos2 = 0 où , 2 2         . On désigne par z’ et z’’ les solutions de (E) telles que Im(z’) < Im(z’’). 2°) Dans le plan complexes rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 = 2sin + z’ et z2 = z' 2i z''  . Déterminer et construire l’ensemble des points M1 et l’ensemble des points M2 lorsque  décrit , 2 2         Exercice 11: ( 6points ) Les questions 1, 2, 3, 4, et 5 sont indépendantes 1) Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que 2) Soit z = ; Donner la forme exponentielle de z 3) On considère dans C l’équation à une inconnue z , (E) : z² -2i a)Résoudre dans C l’équation ( E ). On désigne par z1 et z2 les solutions de ( E ) ; ( Ré(z1) < 0) b)Donner la forme exponentielle de 4) Montrer que si u et v sont deux racines troisièmes de 1+i alors u.v est une racine troisième de 4 5) Soient A(a) et B(b) deux points du cercle trigonométrique non diamétralement opposés. a) Montrer que le nombre complexe est un réel strictement positif. b) Déduire que ; 2arg( a+b) = arg(a) + arg(b) + 2k ; k 6) Prouver que le produit des racines nièmes de l’unité est ( -1 )n-1 ; . Exercice 12 : On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation d’inconnue : 1) Résoudre 2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct On désigne par et les points d’affixes respectives : , a) Montrer que l’ensemble des points d’affixe vérifiant est la droite MR: LATRACH. Complexe 2020/2021 Lycée Pilote Ariana Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. 4 Math La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques. Page 3 b) Soit un point d’affixe tel que et un point d’affixe avec Montrer que c)Déduire que est la bissectrice de l’angle ( , ) Exercice 13 :TN2012 Soit a un réel strictement positif. 1)Résoudre dans C : z²-(1+i)az+ia²=0 2)Le plan est rapporté à un repère orthonormé (o, u , v ). On désigne par A et B les points d’affixes respectives a et ia. a) Quelle est la nature du triangle OAB ? b) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB soit un carré. 3) Soient P et Q les points du plan tels que les triangles OAP et AQC sont équilatéraux de sens direct. a) Montrer que l’affixe du point P est a( b) Calculer l’affixe du point Q. c) Montrer que les points B, P et Q sont alignés. Exercice14 :TN2012 Scx: Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u , v ). On désigne par C le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1 et a= 1)a)Donner la forme exponentielle de a b) Construire le point A 2)Soit B le point d’affixe b = a)Vérifier que . En déduire que le point B appartient à C. b) Montrer que les points A, B et I sont alignés. c) Construire alors le point B. 3) Soit un argument de b Montrer que cos = Exercice 15: Soit (o,   v u, ) un repère orthonormé direct du plan Complexe P et f l’application qui a tout point d’affixe z , associe le point M’ d’affixe z’= , A(i) ; B(-i) 1) Déterminer les points fixes de f 2) Mque les points A, M et M’ sont uploads/Ingenierie_Lourd/ comp-m-2021.pdf