A. El Mossadeq Corrigé Contrôle STATISTIQUE Toute réponse incomplète ou non jus

A. El Mossadeq Corrigé Contrôle STATISTIQUE Toute réponse incomplète ou non justi…ée ou non motivée ou in- achevée est sanctionnée Solution 1 1. f(x) = ( 2x e x2  ; x > 0 0 ; ailleurs Considérons un r-échantillon de cette structure. Sa fonction de vraisemblance est dé…nie pour tout ,  > 0, et tout (x1; :::; xr) Rr; tous strictement positifs, par: L (; x1; :::; xr) = r Y i=1 f (xi) = 2  r x1:::xrer P i=1 x2 i  On a : ln L (; x1; :::; xr) = r ln 2 r ln  + ln (x1:::xr) r P i=1 x2 i  @ @ ln L (; x1; :::; xr) = r  + r P i=1 x2 i 2 d’où: @ @ ln L (; x1; :::; xr) = 0 = )  = 1 r r X i=1 x2 i et comme: @2 @2 ln L (; x1; :::; xr) < 0 donc l’estimateur du maximum de vraisemblance d’un r-échantillon de cette 1 A. El Mossadeq structure est: ^  = 1 r r X i=1 X2 i (2points) 2. Pour tout ,  > 0, et tout (x1; :::; xr) 2 Rr; tous strictement positifs, on a: L (; x1; :::; xr) = 2  r x1:::xrer P i=1 x2 i  = 2rx1:::xr 1 re r ^ (x1;:::;xr) D’après le théorème de factorisation, ^  est un résumé exhaustif puisque: L (; x1; :::; xr) = g  ; ^  (x1; :::; xr)  h (x1; :::; xr) où : g  ; ^  (x1; :::; xr)  = 1 re r ^ (x1;:::;xr) h (x1; :::; xr) = 2rx1:::xr (2points) 3. (a) Puisque: ^  = 1 r r X i=1 X2 i alors: E h ^  i = E  X2 Calculons E  X2 : E  X2 = Z +1 1 f(x)dx = Z +1 0 2x3  e x2  dx =  d’où: E h ^  i =  On en déduit que ^  est un estimateur sans biais de . (2points) 2 A. El Mossadeq (b) Puisque: ^  = 1 r r X i=1 X2 i alors: V h ^  i = 1 rV  X2 Calculons E  X4 : E  X4 = Z +1 1 f(x)dx = Z +1 0 2x5  e x2  dx = 22 d’où: V h ^  i = 1 r h E  X4 E  X22i = 2 r On en déduit que ^  est un estimateur convergent de . (2points) 4. (a) Calculons la quantité d’information de Fisher, I [X; ], concernant . I [X; ] = E  @2 @2 ln f (; X)  = E  @2 @2  ln 2 + ln X ln  X2   = E  1 2 2X2 3  = 1 2 Donc la quantité d’information de Fisher, I [X1; :::; Xr; ], concernant  fournie par le r-échantillon est: I [X1; :::; Xr; ] = rI [X; ] = r 2 (2points) (b) On a : e h ^  i = 1 I [X1; :::; Xr; ] V h ^  i = 1 Donc ^  est e¢cace. (2points) 3 A. El Mossadeq Solution 2 1. Testons, au seuil , l’hypothèse nulle: H0 : ”la durée de vie du Composant Electronique est une variable exponentielle” (0:5point) 2. Soit X la variable aléatoire associée, sa densité de probabilité est donné par : f (x) = 1 e x et sa fonction de répartion est : F (x) = 1 e x Calculons une estimation ponctuelle du paramètre : On sait que: ^ = 1 n n X i=1 Xi est un estimateur sans biais et convergent de . Une estimation ponctuelle ~ de est donnée par: ~ = 1 100 9 X k=1 aknk = 3:09 où ak est le milieu de l’intervalle [xk; xk+1[ (2points) 3. L’e¤ectif théorique tk, k  0, représentant la durée de vie [xk; xk+1[ est donné par: tk = nP [xk  X < xk+1] = n [F (xk+1) F (xk)] = n h e xk exk+1 i D’où les répartitions: Durée de vie [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ [5; 6[ [6; 12[ [12; 24[  24 E¤ectifs Observés 24 28 16 12 8 2 6 4 0 E¤ectifs Théoriques 27:65 20 14:47 10:48 7:57 5:49 12:28 1:64 0:42 4 A. El Mossadeq (2points) 4. On constate que le tableau contient des e¤ectifs théoriques strictement in- férieurs à 5, ce qui empêche l’utilisation d’un test du khi-deux. On peut remédier à cet état en opérant le groupement ”logique” des classes [6; 12[ ; [12; 24[ ; [ 24] : Les tableaux des e¤ectifs observés et théoriques deviennent: Durée de vie [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ [5; 6[  6 Total E¤ectifs Observés 24 28 16 12 8 2 10 100 E¤ectifs Théoriques 27:65 20 14:47 10:48 7:57 5:49 14:34 100 (1point) 5. Sous l’hypothèse nulle H0, la quantité: 2 = 7 X i=1 (oi ti)2 ti est une réalisation d’une variable du Khi-deux à: 7 1 1 = 5 degrés de liberté puisque pour calculer les e¤ectifs théoriques, nous avons utilisé l’estimation, et non la valeur réel, du paramètre de la loi exponentielle. Pour = 5%, on a: 2 5;:95 = 11:07 Et comme: 2 = 7:87 On accepte alors H0 au seuil = 5%, c’est à dire, la durée de vie du Com- posant Electronique est une variable exponentielle dont le paramètre est estimé par: ~ = 3:09 (2:5points) 5 uploads/Ingenierie_Lourd/ controle-statistique-2020-corrige.pdf

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Ingénierie e¤ectifs mossadeq durée calculons variable
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