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Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique

Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Déﬁnition 1. Une fonction à deux variables est une application f : D →R, où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de déﬁnition de la fonction f. Exemples : La fonction f : (x, y) 7→x3 + 2x2y + xy3 −4y2 est une fonction à deux variables déﬁnie sur R2 tout entier. La fonction g : (x, y) 7→ln(x + y −1) est une fonction déﬁnie sur l’ensemble des couples (x, y) vériﬁant x + y −1 > 0, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la droite d’équation y = 1 −x. Proposition 1. Tout sous-ensemble de la forme {(x, y) | ax + by + c = 0}, où a, b et c sont trois réels tels que (a, b) ̸= (0, 0) est une droite. Démonstration. Si b ̸= 0, on peut mettre l’équation sous la forme y = −c −ax b , qui est bien une équation de droite. Et si b = 0, on a par hypothèse a ̸= 0, donc on obtient x = −c a , qui est également une droite, en l’occurence parallèle à l’axe des ordonnées. Exemple : La fonction h : (x, y) 7→ p 4 −x2 −y2 est déﬁnie à l’intérieur du cercle de centre O et de rayon 2. Proposition 2. Le sous-ensemble de R2 déﬁni par l’équation x2 + y2 = R, avec R ⩾0, est le cercle de centre 0 et de rayon √ R (si R < 0, l’ensemble est vide). Démonstration. Dans le plan R2 (muni d’un repère orthonormal, mais ce sera toujours le cas pour nous), le point M de coordonnées (x, y) est situé à une distance p x2 + y2 de l’origine O du repère (c’est une application du théorème de Pythagore), donc x2 + y2 = R ⇔OM2 = r2 ⇔OM = r. l’ensemble des points à distance r de O est bien le cercle de centre O et de rayon r. Déﬁnition 2. La représentation graphique d’une fonction à deux variables dans un repère (O,⃗ i,⃗ j,⃗ k) de l’espace est l’ensemble des points M(x, y, z) vériﬁant z = f(x, y). Remarque 1. Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe, mais par une surface dans l’espace. Il est très diﬃcile en général de visualiser ce genre de représentations graphiques, c’est pourquoi on en est souvent réduit à étudier les coupes par des plans que représentent les lignes de niveau et les applications partielles. Déﬁnition 3. Soit k un réel et f une fonction de deux variables, la ligne de niveau k de la fonction f est l’ensemble des couples (x, y) vériﬁant f(x, y) = k. Remarque 2. Il s’agit donc de la coupe de la surface représentative de f par le plan « horizontal » d’équation z = k. La plupart du temps, une ligne de niveau n’est pas la courbe représentative d’une fonction à une variable. 1 Exemple : Considérons la fonction f(x, y) = x2 + y2, sa ligne de niveau k est déﬁnie par l’équation x2 + y2 = k. Il s’agit donc du cercle de centre O et de rayon √ k quand k est positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pour k entier compris entre −1 et 4. Il ne reste plus qu’à les relier mentalement pour imaginer l’allure de la surface représentative de f. 2 2 Exemples de surfaces Juste quelques surfaces tracées à l’ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler. -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -20 -18 -16 -14 -12 -10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 z f(x,y)=x^2+y^2 x y z -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 z f(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) x y z 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z f(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) x y z -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 z f(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 x y z 4 3 Dérivées partielles On ne peut pas étudier les variations d’une fonction à deux variables comme on le fait pour une fonction à une variable, puisque la simple notion de fonction croissante ou décroissante n’a pas d’équivalent quand on passe à deux variables. Il est cependant intéressant de calculer un analogue de la dérivée dans ce cadre, qui permet notamment de trouver les minima ou maxima de la fonction, comme c’est le cas pour une fonction à une variable. Déﬁnition 4. Soit f : (x, y) 7→f(x, y) à deux variables, les applications partielles associées sont les deux fonctions à une variable fx : x 7→f(x, y) et fy : y 7→f(x, y). Remarque 3. Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonction f elle-même, seul le statut de x et de y change : au lieu d’avoir deux variables, l’une d’elles est désormais ﬁxée, même si on ne connait pas sa valeur. Pour rendre les choses plus concrètes, on peut assigner une valeur à la varible ﬁxée. Par exemple, si f(x, y) = x2−3xy+y3, on dira que l’application partielle obtenue en ﬁxant y = 1 est la fonction d’une variable x 7→x2 −3x+1 (on a posé y = 1 dans l’équation de f), ou que l’application partielle obtenue en ﬁxant x = 2 est la fonction y 7→4−6y+y3. Tracer les représentations graphiques de ces applications partielles revient à tracer la coupe de la surface représentative de f par les plans d’équation respective y = 1 et x = 2 (plans « verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle). Déﬁnition 5. Les dérivées partielles d’une fonction à deux variables sont les dérivées de ses application partielles. On note ∂f ∂x la dérivée de fx et ∂f ∂y celle de fy. Remarque 4. Pour calculer ces dérivées partielles, on dérive en considérant l’une des deux variables comme une constante (on dit qu’on dérive la fonction f par rapport à x ou y respectivement), mais chacune des deux dérivées partielles reste une fonction à deux variables. Remarque 5. On se contentera de calculer ces dérivées partielles sans se préocupper de justiﬁer leur existence, ce qui est un problème plus complexe que dans le cas d’une fonction à une variable. Déﬁnition 6. Les quatres dérivées partielles des fonctions ∂f ∂x et ∂f ∂y (deux pour chaque fonction) sont appelées dérivées partielles secondes de la fonction f. On note ∂2f ∂x2 et ∂2f ∂y∂x les dérivées partielles par rapport à x et y de ∂f ∂x, et ∂2f ∂x∂y et ∂2f ∂y2 les dérivées partielles de ∂f ∂y . Exemples : Reprenons l’exemple de la fonction f : (x, y) 7→x3 + 2x2y + xy3 −4y2. On a donc ∂f ∂x(x, y) = 3x2+4xy+y3 ; ∂f ∂y (x, y) = 2x2+3xy2−8y ; ∂2f ∂x2 (x, y) = 6x+4y ; ∂2f ∂y∂x(x, y) = 4x+3y2 ; ∂2f ∂x∂y (x, y) = 4x + 3y2 et enﬁn ∂2f ∂y2 = 6xy −8. De même, la fonction g : (x, y) 7→ln(x + y −1) a pour dérivées partielles ∂g ∂x(x, y) = 1 x + y −1 ; ∂g ∂y (x, y) = 1 x + y −1 ; ∂2g ∂x2 (x, y) = 1 (x + y −1)2 , et les trois autres dérivées secondes sont les mêmes que la première. Enﬁn, la fonction h : (x, y) 7→ p 4 −x2 −y2 vériﬁe ∂h ∂x(x, y) = −2x 2 p 4 −x2 −y2 = − x p 4 −x2 −y2 ; ∂h ∂y (x, y) = − y p 4 −x2 −y2 ; ∂2h ∂x2 (x, y) = − p 4 −x2 −y2 −x × x √ 4−x2−y2 4 −x2 + y2 = y2 −4 (4 −x2 −y2) 3 2 ; 5 ∂2h ∂y∂x(x, y) = −y × −2x −2 (4 −x2 −y2) 3 2 = −xy (4 −x2 −y2) 3 2 ; ∂2h ∂x∂y(x, y) = −xy (4 −x2 −y2) 3 2 et enﬁn ∂2h ∂y2 = x2 −4 (4 −x2 −y2) 3 2 . Déﬁnition 7. Un point critique pour une fonction f à deux variables est un couple (x, y) vériﬁant ∂f ∂x(x, y) = ∂f ∂y (x, y) = 0. Exemple : Les points critiques de la fonction f déﬁnie plus haut sont les solutions du système suivant (qu’on est bien incapable de résoudre) : 3x2 + 4xy + y3 = 0 2x2 + 3xy2 −8y = 0 Théorème 1. Si une uploads/Ingenierie_Lourd/ deux-variables.pdf