Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille

Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur ISTIL 1ère année Corrigé de la feuille 41 Rappel : formule des Résidus Soit F une fonction méromorphe sur un ouvert Ωde C, et soit γ un lacet de Ω. Alors Z γ F(z) dz = 2iπ P z0∈Int(γ) Res(F, z0) Exercice 1 On cherche à calculer l’intégrale I(a) = Z π 0 a dθ a2 + sin2 θ Si on change a en −a, on change le signe du résultat. On peut donc supposer que a > 0, les intégrales pour a < 0 s’en déduiront en changeant le signe. Rappel : intégrales en cos θ et sin θ Pour calculer une intégrale de la forme Z π −π F(cos θ, sin θ) dθ, il suffit de poser z = e iθ, et on se ramène alors à une intégrale sur le cercle unité d’une fonction de la variable complexe. Le cosinus et le sinus sont transformés à l’aide des formules d’Euler cos θ = e iθ + e −iθ 2 = z2 + 1 2z sin θ = e iθ −e −iθ 2i = z2 −1 2iz L’intégrale que l’on cherche à calculer est donc égale à l’intégrale le long du cercle unité de la fonction z 7− →1 iz F z2 + 1 2z , z2 −1 2iz  1généré avec L A T EX 2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes sont les bienvenus à perrier@math.univ-lyon1.fr 2 Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Comme la fonction θ 7→ a a2 + sin2 θ est paire, on a Z π 0 a dθ a2 + sin2 θ = 1 2 Z π −π a dθ a2 + sin2 θ Posons z = e iθ. On a alors dz = ie iθ dθ = izdθ Par ailleurs, a a2 + sin2 θ = a a2 + z2 −1 2iz 2 = a a2 −(z2 −1)2 4z2 = −4az2 (z2 −1)2 −4a2z2 a a2 + sin2 θ = −4az2 (z2 −2az −1)(z2 + 2az −1) Notons C le cercle unité. On obtient ainsi Z π −π a dθ a2 + sin2 θ = Z C 4iaz (z2 −2az −1)(z2 + 2az −1) dz Les singularités de la fonction sont racines des polynômes z2 −2az −1 et z2 + 2az −1 Déterminons ces racines. • z2 −2az −1 Les racines de ce polynôme sont a+ − √ a2 + 1 • z2 + 2az −1 Les racines de ce polynôme sont −a+ − √ a2 + 1 Comme on a supposé que a > 0, seules deux racines sont dans le cercle unité : a − √ a2 + 1 et −a + √ a2 + 1. z = −a − √ a2 + 1 z = −a + √ a2 + 1 z = a + √ a2 + 1 z = a − √ a2 + 1 L’application de la formule des résidus donne Z C 4iaz (z2 −2az −1)(z2 + 2az −1) dz = 2iπ Res(F, a − √ a2 + 1) +Res(F, −a + √ a2 + 1)  Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 3 Il reste à calculer les résidus de F en a − √ a2 + 1 et −a + √ a2 + 1. Rappel : calcul du résidu pour un pôle simple Soit F une fonction de la variable complexe, et soit α un pôle de F, d’ordre 1. Alors Res(F, α) = lim z→α(z −α)F(z) La fonction F, une fois factorisée, s’écrit F : z 7− → 4iaz (z −a − √ a2 + 1)(z −a + √ a2 + 1)(z + a − √ a2 + 1)(z + a + √ a2 + 1) On obtient alors immédiatement Res(F, a − √ a2 + 1) = − i 2 √ a2 + 1 Res(F, −a + √ a2 + 1) = − i 2 √ a2 + 1 d’où Z C 4iaz (z2 −2az −1)(z2 + 2az −1) dz = 2π √ a2 + 1 Comme on l’a expliqué au début de l’exercice, l’intégrale est du même signe que a. De plus, pour se ramener à l’intégrale sur [ −π ; π ], on divise le résultat par 2. On obtient finalement I(a) = π signe(a) √ a2 + 1 4 Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Exercice 2 On cherche à calculer Z 2π 0 dθ (1 + sin2 θ)2 Commençons par transformer l’intégrande, en posant z = e iθ. On a alors 1 (1 + sin2 θ)2 = 1 1 + z2 −1 2iz 2!2 = 1  1 −(z2 −1)2 4z2 2 = 16z4 ((z2 −1)2 −4z2)2 1 (1 + sin2 θ)2 = 16z4 (z2 −2z −1)2(z2 + 2z −1)2 Notons C le cercle unité. Alors Z 2π 0 dθ (1 + sin2 θ)2 = Z C 16z4 (z2 −2z −1)2(z2 + 2z −1)2 dz iz = Z C 16z3 i(z2 −2z −1)2(z2 + 2z −1)2 dz Nous allons calculer cette intégrale par la formule des résidus. Pour cela, commençons par calculer les singularités de la fonction F : z 7− → 16z3 i(z2 −2z −1)2(z2 + 2z −1)2 Ces singularités sont les zéros des polynômes z2 −2z −1 et z2 + 2z −1. • z2 −2z −1 Les racines de ce polynôme sont 1+ − √ 2 • z2 + 2z −1 Les racines de ce polynôme sont −1+ − √ 2 Les deux singularités de F qui se trouvent dans C sont 1 − √ 2 et −1 + √ 2. D’après la formule des résidus, on a donc Z C 16z3 i(z2 −2z −1)2(z2 + 2z −1)2 dz = 2iπ  Res(F, −1 + √ 2) + Res(F, 1 − √ 2)  Notons α = 1 − √ 2, et β = 1 + √ 2. Les pôles sont alors + −α, et + −β, et nous cherchons à calculer les résidus en + −α. Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 5 z = −1 − √ 2 z = 1 − √ 2 z = −1 + √ 2 z = 1 + √ 2 Calcul du résidu en α Ce pôle est d’ordre 2. On en déduit que le développement en séries de Laurent au voisinage de α est de la forme F(z) = a−2 (z −α)2 + a−1 z −α + e F(z) où e F est une fonction holomorphe. Posons h = z −α. On a alors F(α + h) = a−2 h2 + a−1 h + e F(α + h) d’où h2F(α + h) = a−2 + a−1h + h2e F(α + h) = a−2 + a−1h + O h2 Le résidu a−1 apparaît donc comme le deuxième terme du développement limité de h 7→h2F(α + h) au voisinage de 0. Commençons par arranger l’expression de h2F(α + h). h2F(α + h) = (α + h)3 (2α + h)2(α −β + h)2(α + β + h)2 = α3  1 + h α 3 4α2  1 + h 2α 2 (α −β)2  1 + h α −β 2 (α + β)2  1 + h α + β 2 h2F(α + h) = α3 4α2(α −β)2(α + β)2  1 + h α 3  1 + h 2α 2  1 + h α −β 2  1 + h α + β 2 Il reste à calculer le développement limité de chacun des termes, et d’en effectuer le produit. Le développement limité du numérateur se calcule directement  1 + h α 3 = 1 + 3h α + O h2 6 Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Les autres termes sont de la forme  1 + h A −2 : 1 1 + h A = 1 −h A + O h2 En élevant cette expression au carré, on obtient    1 1 + h A    2 = 1 −2h A + O h2 Remarque D’une manière générale, pour développer un produit à l’ordre 1, on a N Π k=1(1 + Aih + O h2 ) = 1 +  N P k=1 Ai  h + O h2 On en déduit que  1 + h α 3  1 + h 2α 2  1 + h α −β 2  1 + h α + β 2 =  1 + 3h α + O h2  1 −h α + O h2  1 − 2h α −β + O h2 ×  1 − 2h α + β + O h2 = 1 +  3 α −1 α − 2 α −β − 2 α + β  h + O h2 = 1 −2(α2 + β2) α(α2 −β2) + O h2 On obtient ainsi h2F(α + h) = α3 4α2(α uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-re-sidus 1 .pdf

Tags
Ingénierie res(f calculer méthodes mathématiques istil
Documents similaires
  • 12
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager