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TD 5 Électrocinétique I. — Circuits électriques dans l’ARQS Exercice 1 : Lois d

TD 5 Électrocinétique I. — Circuits électriques dans l’ARQS Exercice 1 : Lois de Kirchhoﬀ Dans le schéma de la ﬁgure 5.1 les dipôles représentés sont des résistors, de résistance R1 = R2 = R4 = 100 Ω, R5 et R3 restant inconnues. On donne I3 = 8,0 mA , I4 = 10,0 mA et I5 = 5,0 mA. I1 1 2 I2 3 I3 5 I5 4 I4 A B C D Figure 5.1 – Pont de résistances (exercice 1). 1. Dénombrer nœuds, branches, mailles, et mailles indépendantes. Corrigé : Il y a 4 nœuds : A, B, C et D. Il y a 5 branches : AB, DA, DB, AC, BC. Il y a 3 mailles : DABD, BACB et DACBD. Il y a 2 mailles indépendantes : DACBD = DABD + BACB. 2. Représenter les tensions UAB, UAC, UBD sous la forme enseignée en cours — un trait courbe accompagné d’un signe +. Corrigé : Schéma à faire Université Paris Diderot TD d’électromagnétisme 2020-2021 TD 5. Électrocinétique 135 3. Déterminer les valeurs numériques de : I1, I2, UAB, UAC, UBD, R3 et R5. Corrigé : — Pour trouver I1, on remarque que ce courant est dans la branche BA. Au nœud B, la loi des nœuds de Kirchhoﬀimpose : I3 = I4 + I1 ⇒ I1 = I3 −I4 = −2,0 mA — Pour trouver I2, on considère le nœud A. La loi des nœuds s’y écrit : I1 = I2 + I5 ⇒ I2 = I1 −I5 = −2 −5 = −7.0 mA — Pour trouver UAB, comme on connaît I1, on écrit la loi d’Ohm : UAB = −R1I1 Le signe « - » vient du fait que la ﬂèche orientant le courant n’arrive pas sur le « + » du segment courbe représentant la tension, mais en repart. La loi d’Ohm possède un signe qui dépend de l’orientation choisie. Donc : UAB = −100 × (−2 · 10−3) = +0,20 V — Pour trouver UAC, comme on connaît I2, la loi d’Ohm donne : UAC = +R2I2 ⇒ UAC = +100 × (−7 · 10−3) = −0.70 V — Pour trouver UBD, comme on connaît I4, on a : UBD = +R4I4 = +100 × (10 · 10−3) = +1.0 V — Pour trouver R3, il faut examiner la branche BC. On connaît I3 orienté de C vers B. On calcule UCB avec la loi des mailles appliquée à la maille BCAB : UCB + UAC + (−UAB) = 0 ⇒ UCB = UAB −UAC = 0,2 −(−0,7) = 0,9 V On en déduit : R3 = UCB I3 = 0,9 8 · 10−3 = 112,5 Ω — Pour trouver R5, on procède de même : UAD = +R5I5 UAD = UBD + UAB = 1,2 V D’où : R5 = 1,2 5 · 10−3 = 240 Ω Exercice 2 : Association parallèle et série On considère les trois circuits de la ﬁgure 5.2. Université Paris Diderot TD d’électromagnétisme 2020-2021 TD 5. Électrocinétique 136 R R (a) R R R (b) R R R R (c) Figure 5.2 – Association de résistances (exercice 2). 1. Déterminer en fonction de R la résistance équivalente à l’extrémité ouverte de ces circuits. Corrigé : — Circuit (a) : (R+R) Ra = 2R — Circuit (b) : R // (R+R) Rb = 1 1 R + 1 2R = R 1 + 1 2 = 2 3R — Circuit (c) : R+[R//(R+R)] Rc = R + Rb = R + 2 3R = 5 3R 2. Dessiner le circuit (e), prolongement logique de la suite des graphes (a) et (c). Calculer sa résistance équivalente. Corrigé : Circuit (e) = R + R//Rc Re = R + 1 1 R + 1 Rc = R + R 1 + R Rc = R 1 + 1 1 + 3 5 ! = 13 8 R 3. (⋆) En procédant par récurrence, calculer la résistance équivalente d’un réseau de même type ; passer à la limite pour trouver la résistance équivalente du réseau inﬁni du même type. Université Paris Diderot TD d’électromagnétisme 2020-2021 TD 5. Électrocinétique 137 Corrigé : On se rend compte qu’à chaque étape on ajoute une résistance en //, puis une autre en série. Cela déﬁnie une suite récurrente : rn+1 = R + 1 1 R + ... Que l’on peut écrire : rn+1 = R 1 + 1 1 + R rn ! On pose : un = rn R soit : un+1 = 1 + 1 1 + 1 un Pour n →∞, on a : u∞= 1 + 1 1 + 1 1+ 1 ... Et comme u∞+1 = u∞, on a : u∞= 1 + 1 1 + 1 u∞ soit : u∞= 1 + u∞ 1 + u∞ = 1 + u∞+ u∞ 1 + u∞ = 1 + 2u∞ 1 + u∞ soit : u∞(1 + u∞) = 2u∞+ 1 ⇒ u2 ∞−u∞−1 = 0 Donc : u∞= 1 ± √1 + 4 2 = 1 ± √ 5 2 On ne garde que la solution positive (qui est le nombre d’or). Université Paris Diderot TD d’électromagnétisme 2020-2021 TD 5. Électrocinétique 138 Exercice 3 : (⋆) Pont diviseur La conﬁguration de résistance sur la ﬁgure 5.3 est appelée « pont de Wheatstone ». On l’utilise souvent lorsqu’on met en place des capteurs dont la résistance varie avec la grandeur mesurée. La valeur de α dépend de la grandeur mesurée, pression, luminosité, température, etc. R R R R(1 + α) E u A B P N + + Figure 5.3 – Pont de Wheatstone (exercice 3). 1. On peut toujours déﬁnir une référence de masse dans un circuit, c’est-à-dire choisir un point de potentiel nul. En quel point vous semble-t-il judicieux de placer cette référence de potentiel ? Corrigé : On choisit N comme référence de masse. Ainsi : VN = 0 V, et VP = +E. Remarque : on peut choisir n’importe quelle référence de masse. Celle-ci a l’avantage de permettre de calculer VA et VB simplement. De même, on choisit généralement la borne - du générateur comme masse. 2. Ce circuit est constitué de deux branches, qui sont deux ponts diviseurs. Exprimer VA en fonction de E d’une part, puis VB en fonction de de E et α d’autre part. Corrigé : La branche PAN est un pont diviseur de tension : VAN = R R + RVPN = 1 2VPN avec : VAN = VA −VN = VA −0 = VA et : VPN = VP −VN = VP = E donc : VA = E 2 La branche PBN est également un pont diviseur de tension : VBN = VB −VN = VB = R(1 + α) R + R(1 + α)VPN = 1 + α 2 + αE Université Paris Diderot TD d’électromagnétisme 2020-2021 TD 5. Électrocinétique 139 3. En déduire la relation exprimant u en fonction de E et α. Corrigé : On voit sur le schéma que : u = VB −VA = 1 + α 2 + αE −E 2 = α 2(2 + α)E Exercice 4 : (⋆) Théorème de Millman Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l’honneur de l’électronicien américain Jacob Millman. On envisage de le démontrer à l’aide du circuit de la ﬁgure 5.4. RA RC RB A B C D Figure 5.4 – Potentiel à un nœud multiple (exercice 4). En partant de la loi des nœuds et de la loi d’Ohm, exprimer le potentiel au nœud D en fonction des potentiels aux points A, B et C, et des résistances RA, RB et RC. Corrigé : La loi des nœuds indique que la somme des courants entrants dans un nœud est égale à celles sortant du nœud : IA + IB + IC = 0 (tous ces courants pointent vers le nœud D). Exprimons ces intensités avec la loi d’Ohm, en faisant bien attention à se placer en convention récepteur : UAD RA + UBD RB + UCD RC = 0 Avec les potentiels, cela donne : VA −VD RA + VB −VD RB + VC −VD RC = 0 d’où : VD = VA RA + VB RB + VC RC 1 RA + 1 RB + 1 RC Ce résultat se généralise au cas de N branches : la tension au nœud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les dipôles pondérée par les conductances respectives. Le site web suivant indique le principe d’application de ce théorème : http: // bit. ly/ 2hSKI1Y . Exercice 5 : (⋆) Les labyrinthes de la loi des mailles 1. Dans le circuit de la ﬁgure 5.5, les résistors (représentés par des dents de scie) ont une résistance de 4 Ωet les piles (représentées par une double barre, une grande (+) et une petite (-)) sont considérées comme des générateurs de tension idéaux (donc de résistance interne nulle), avec une Université uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-td5 5 .pdf