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Nombres complexes, trigonom´ etrie Partie I : Le corps des nombres complexes Ta

Nombres complexes, trigonom´ etrie Partie I : Le corps des nombres complexes Table des mati` eres I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´ eﬁnition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Notation cart´ esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Fonctions ` a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Argument, exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 Notation exp(iθ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Forme trigonom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.4 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III Equations polynˆ omiales dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.1 Th´ eor` eme de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.2 Racines carr´ ees d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.3 Equation du second degr´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.4 Racines N-i` emes d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.5 Racines n-i` emes de l’unit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV Trigonom´ etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.1 Applications sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.2 Applications tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.3 Lin´ earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV.4 Op´ eration inverse de la lin´ earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 V G´ eom´ etrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.1 Propri´ et´ es g´ eom´ etriques li´ ees au module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.2 Propri´ et´ es g´ eom´ etriques li´ ees ` a la conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.3 Propri´ et´ es g´ eom´ etriques li´ ees ` a l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.4 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.5 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.6 Conﬁgurations g´ eom´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VI Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.1 Nombres complexes et g´ eom´ etrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.2 Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Lyc´ ee Saint-Louis, MPSI3 ann´ ee 2011/2012 Page 1 Nombres complexes, trigonom´ etrie Partie I : Le corps des nombres complexes I Le corps des nombres complexes I.1 D´ eﬁnition de C D´ eﬁnition On munit l’ensemble R2 des deux lois suivantes : ∀(x, y, x′, y′) ∈R4, (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) (x, y)(x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) Proposition Muni de ces deux lois, R2 poss` ede une structure de corps. Plus pr´ ecis´ ement : – Le neutre pour la loi + est (0, 0). – L’oppos´ e de (x, y) est (−x, −y). – Le neutre pour le produit est (1, 0). – Pour tout z = (x, y) non nul, l’inverse de z est : 1 z = ( x x2 + y2, −y x2 + y2). D´ eﬁnition On note C l’ensemble R2 avec les deux lois pr´ ec´ edentes. Ses ´ el´ ements z = (x, y) sont appel´ es nombres complexes. Proposition L’ensemble K = {(x, 0), x ∈R} est un sous-corps de C. L’application f : x →(x, 0) est un isomorphisme de corps de R sur K. Cons´ equence De cette mani` ere (R, +, ×) apparait comme un sous-corps de (C, +, ×). Cet isomorphisme permet d’identiﬁer le complexe (x, 0) avec le r´ eel x. I.2 Notation cart´ esienne Dans le corps (C, +, ×), on note i = (0, 1). Pour tout z = (x, y) de C, on constate que z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Avec l’identiﬁcation de R avec un sous-corps de C, on peut ´ ecrire : z = x + iy. On a ainsi obtenu la notation cart´ esienne (ou alg´ ebrique) des nombres complexes. D´ eﬁnition Pour tout z de C, il existe uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-4.pdf