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CHAPITRE 4 : ESPACE ET GÉOMÉTRIE UNITÉ 1 : GÉOMÉTRIE : CONSEILS GÉNÉRAUX 1. À p

CHAPITRE 4 : ESPACE ET GÉOMÉTRIE UNITÉ 1 : GÉOMÉTRIE : CONSEILS GÉNÉRAUX 1. À propos du langage géométrique • Étant donné deux points A et B distincts, [AB], AB, (AB), [AB) désignent des objets différents en géométrie, respectivement le segment d’extrémités A et B, la longueur de [AB] (ou parfois la distance de A à B), la droite passant par A et B, la demi-droite d’origine A passant par B. • À propos des notations conventionnelles, nous vous invitons à les utiliser avec discernement, c’est-à- dire avec leur sens précis et en évitant certains abus sténographiques. Prenons trois exemples. — Si l’on ne veut pas écrire en toutes lettres « la droite (AB) est parallèle à la droite (CD) », on peut écrire « (AB) // (CD) », expression dans laquelle « // » joue son rôle de verbe, mais « (AB) est // (CD) » ou « (AB) et (CD) sont // » ne sont pas des phrases correctes du point de vue syntaxique, « // » y est pris pour un adjectif, ce qu’il n’est pas ; la même remarque vaut pour le symbole ⊥. — Si l’on ne veut pas écrire en toutes lettres « les points A, B, C sont deux à deux distincts », on peut écrire « A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C » mais pas « A ≠ B ≠ C » car cette écriture raccourcie ne permet pas de dire si A et C sont distincts. — Pour dire que deux segments [AB] et [CD] sont de même longueur, n’écrivez pas « [AB] = [CD] », ce qui ne serait correct que si les deux segments sont confondus, mais AB = CD. • Bien sûr, ces remarques sont applicables quand vous rédigez « au propre ». Quand vous travaillez au brouillon, écrit personnel, privé, vous pouvez vous créer votre propre syntaxe si vous pensez à appliquer les règles communes lorsque vous rédigez sur votre copie. CHAPITRE 4 - Unité 1 Réf. 5MA68TEPA0022 CNED CRPE MATHÉMATIQUES – Chapitre 4 - Unité 1 171 2. À propos des constructions géométriques A. Construire une figure Il est souvent demandé de « construire une figure », c’est-à-dire réaliser une figure conformément à des instructions fournies dans un énoncé. Voici des exemples de telles consignes. — — Exemple n° 1 • Construire un trapèze isocèle ABCD tel que AB = CD = 3 cm, BC = 4 cm et AD = 6 cm. Indication pour la construction : tracer un segment [AD] de 6 cm de longueur ; placer B’ sur [AD] à 1 cm de A ; placer C’ sur [AD] à 1 cm de D ; tracer les perpendiculaires à (AD) passant par B’ et C’ ; placer B et C à l’aide du compas. — — Exemple n° 2 • Construire un trapèze isocèle ABCD en respectant les indications données sur le dessin à main levée ci-dessous. (Même solution que l’exemple précédent.) — — Exemple n° 3 • Construire un trapèze isocèle ABCD en respectant les indications données sur la figure ci-dessous. (Même solution que l’exemple précédent.) 172 CNED CRPE MATHÉMATIQUES – Chapitre 4 - Unité 1 Réf. 5MA68TEPA0022 — — Exemple n° 4 • Construire à la règle non graduée et au compas un trapèze isocèle ABCD tel que AB = BC = CD = a cm et AD = 2a cm. On prendra pour 2a la mesure du segment ci-dessous. — En voici une solution : — Plusieurs questions se posent. – Une construction obtenue par tâtonnement sera-t-elle acceptée ? – Quels sont les instruments autorisés ? Faut-il rédiger le programme de la construction effectuée ? – Faut-il justifier la construction, c’est-à-dire démontrer que le procédé utilisé conduit bien à la construction demandée ? B. À quoi s’en tenir ? • Sauf autorisation explicite, les méthodes fondées sur le tâtonnement ne sont pas considérées comme valables. • Sans autre précision dans la consigne, on peut utiliser tous les instruments de dessin géométrique usuels (règle graduée, compas, équerre et rapporteur). C’est le cas dans les trois premiers exemples. Il faut se méfier dans l’exemple n° 3. La figure de l’énoncé semble faite aux instruments mais elle n’est pas forcément exacte. En conséquence, un candidat qui pour une raison liée à sa méthode, aurait besoin de la mesure de la hauteur du trapèze, serait très mal inspiré d’aller la mesurer sur la figure, elle serait fausse. • Si on demande une construction à la règle non graduée, on s’impose de ne pas utiliser la graduation de la règle si elle en possède une. • Lorsqu’on demande une construction à la règle non graduée et au compas, comme dans l’exemple n° 4, en plus de ce qui précède et du compas, on attend que les traits de construction intermédiaires soient visibles pour permettre à tout lecteur, au correcteur, de suivre le cheminement de la construction. Il ne faut donc pas les effacer. Dans le cas particulier où l’on construit un point grâce à l’intersection de deux cercles, surtout quand on sait où se trouve approximativement le point cherché, au lieu de tracer des cercles en entier, on se contente de ne tracer que des petits arcs autour de la position estimée. • Un programme de construction écrit ou une justification ne sont exigibles que s’ils ont été explicitement demandés. Attention ! La demande de justification est parfois formulée de manière générale au tout début du sujet ; elle s’applique alors à tous les exercices de ce sujet, donc aussi aux éventuelles constructions. 2a cm Réf. 5MA68TEPA0022 CNED CRPE MATHÉMATIQUES – Chapitre 4 - Unité 1 173 3. À propos des reproductions 1. Il est parfois demandé de « reproduire une figure », c’est-à-dire de réaliser une figure qui soit la copie la plus exacte possible d’une figure donnée en modèle. Une telle activité est très fréquente à l’école élémentaire. Exemple 1 (d’après le CRPE de Lyon) : – On considère le parallélogramme ABCD ci-dessous : – Reproduire à l’échelle 1 ce parallélogramme avec une règle non graduée et un compas. Exemple 2 (d’après le CRPE de Rouen en 1998) : – On considère la figure ci-dessous : – Reproduire cette figure à la règle non graduée et au compas. 2. Comment effectuer la tâche demandée ? • On est obligé, en ne se servant que des instruments autorisés, d’aller prélever des informations sur la figure donnée en modèle. Dans l’exemple n° 1, des renseignements sont fournis dans le texte accompagnant la figure, mais dans l’exemple n° 2, il faut travailler à partir de la seule figure. • Il ne faut pas se précipiter. Avant de se lancer dans la reproduction, une phase d’analyse est parfois indispensable : certaines propriétés de la figure peuvent faciliter la reproduction. Il faut donc commencer par chercher à en mettre en évidence. S’il y en a, choisir celles qui rendront la construction plus aisée. — Dans l’exemple n° 1, l’analyse est brève. – Elle conduit à reproduire par exemple le triangle ABD (à partir des longueurs de [AB], [AD], [DB] prises sur la figure) puis à compléter le triangle BDC (à partir des longueurs de [DC], [BC] prises aussi sur la figure). – On applique deux fois de suite le procédé général rappelé dans le chapitre « Triangle ». — Dans l’exemple n° 2, l’analyse est plus longue. – Il est intéressant de prolonger les segments [AD] et [BC]. Les droites obtenues se coupent en F. Qu’observe-t-on ? – Le triangle ABF semble équilatéral. – (AC) et (DB) semblent être deux hauteurs de ce triangle. – L ’arc de cercle semble centré en E. On prend alors ces observations comme hypothèses pour la reproduction puisque l’énoncé ne donne pas d’autres indications. 174 CNED CRPE MATHÉMATIQUES – Chapitre 4 - Unité 1 Réf. 5MA68TEPA0022 • Une solution est représentée par la figure ci-dessous. • Une autre solution (cf. la figure ci-dessous) consisterait à reproduire les deux triangles ADB et ACB sans se soucier de leur nature, à nommer E le point d’intersection de (DB) et (AC) et à tracer l’arc de cercle de centre E d’extrémités C et D extérieur aux deux triangles. Les deux solutions, pour cet exemple, sont aussi valables l’une que l’autre. 3. Faut-il rédiger un programme de reproduction ? Justifier le procédé choisi ? Il n’y a lieu de rédiger le programme de la reproduction que s’il est demandé. Quant à la question de la justification, elle n’a pas vraiment de sens dans ces tâches-là. On a bien vu dans les exemples analysés que la démarche consiste à considérer comme vrai ce que les instruments permettent d’observer sur la figure. 4. À propos des démonstrations géométriques A. À quoi s’en tenir ? En règle générale, en mathématiques, on ne peut affirmer un résultat que si on peut le démontrer. Au concours, il en va un peu autrement, car certaines démonstrations sont trop techniques pour être exigées de tous les candidats. Il vous faudra donc faire très attention aux consignes. Considérons le uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-cned-espace-et-geometrie.pdf