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Mme N.AZOUAOU Page 1 LES PLANS D’EXPERIENCES 1. Introduction Augmenter ses conn

Mme N.AZOUAOU Page 1 LES PLANS D’EXPERIENCES 1. Introduction Augmenter ses connaissances, c’est trouver la réponse à une question posée. On commence donc par se poser une ou plusieurs questions. Ces questions délimitent le problème à résoudre et fixent les travaux à exécuter. Il est alors nécessaire d’entreprendre des expériences pour obtenir les réponses complètes que l’on souhaite. Comment peut-on choisir ces expériences pour : – arriver rapidement aux meilleurs résultats possibles, – éviter de réaliser des expériences inutiles, – obtenir la meilleure précision possible sur les résultats, – permettre d’avancer à coup sûr, – établir la modélisation du phénomène étudié, – découvrir la solution optimale. Les plans d'expériences permettent d'organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries. Sous une forme mathématique, on peut écrire que la grandeur d’intérêt, y, que nous appellerons également réponse par la suite, est une fonction de plusieurs variables xi (variables que nous appellerons aussi facteurs par la suite). On a : y = f (x1,x2,x3,…,xk) L’étude du phénomène se ramène à déterminer la fonction f ( ) qui lie la réponse y aux différents facteurs x1, x2, …, xk. Pour approfondir cette approche il faut introduire quelques notions particulières et une terminologie spécifique aux plans d’expériences. 2 Terminologie La grandeur d’intérêt, qui est généralement notée y, porte le nom de réponse. Les variables qui peuvent modifier la réponse sont appelées facteurs. On parle donc des facteurs qui influent sur une réponse. Les termes facteur et réponse sont universellement employés dans le domaine des plans d’expériences. 2.1 Les différents types de facteurs La construction des plans et l’interprétation des résultats dépendent en grande partie des types de facteurs rencontrés dans l’étude. On distingue plusieurs types de facteurs. Nous retiendrons les types de facteurs suivants : les facteurs continus, les facteurs discrets, les facteurs ordonnables, les facteurs booléens. Mme N.AZOUAOU Page 2 -Facteurs continus La pression est un exemple de facteur continu. Dans un intervalle de pression donné, on peut choisir toutes les valeurs possibles. Il en est de même d’une longueur, d’une concentration ou d’une température. Les valeurs prises par les facteurs continus sont donc représentées par des nombres continus. -Facteurs discrets Au contraire, les facteurs discrets ne peuvent prendre que des valeurs particulières. Ces valeurs ne sont pas forcément numériques : on peut représenter un facteur discret par un nom, une lettre, une propriété ou même par un nombre qui n’a alors en soi aucune valeur numérique mais qu’une signification de repère. Par exemple, on peut s’intéresser aux couleurs d’un produit : bleu, rouge et jaune sont des facteurs discrets. - Facteurs ordonnables Il s’agit de facteurs discrets que l’on peut mettre dans un ordre logique. Par exemple, grand, moyen, petit, ou encore premier, deuxième, troisième et quatrième. - Facteurs booléens Les facteurs booléens sont des facteurs discrets qui ne peuvent prendre que deux valeurs : haut ou bas, ouvert ou fermé, blanc ou noir, etc. A partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt, y, et des variables, xi. Il faut penser aux plans d'expériences si l’on s’intéresse à une fonction du type : Y= f(Xi) Avec les plans d'expériences on obtient le maximum de renseignements avec le minimum d'expériences. Pour cela, il faut suivre des règles mathématiques et adopter une démarche rigoureuse. La compréhension de la méthode des plans d'expériences s'appuie sur deux notions essentielles, celle d'espace expérimental et celle de modélisation mathématique des grandeurs étudiées. 2.2Notion d'espace expérimental Un expérimentateur qui lance une étude s'intéresse à une grandeur qu'il mesure à chaque essai. Cette grandeur s'appelle la réponse, c'est la grandeur d'intérêt. La valeur de cette grandeur dépend de plusieurs variables. Au lieu du terme «variable» on utilisera le mot facteur. La réponse dépend donc de un ou de plusieurs facteurs. Le premier facteur peut être représenté par un axe gradué et orienté (Figure 1). La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. Mme N.AZOUAOU Page 3 L'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s'appelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine du facteur. On a l'habitude de noter le niveau bas par –1 et le niveau haut par +1. S'il y a un second facteur, il est représenté, lui aussi, par un axe gradué et orienté. On définit, comme pour le premier facteur, son niveau haut, son niveau bas et son domaine de variation. Ce second axe est disposé orthogonalement au premier. On obtient ainsi un repère cartésien qui définit un espace euclidien à deux dimensions. Cet espace est appelé l'espace expérimental (Figure 2). Figure 2 : Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. L'espace ainsi défini est l'espace expérimental. Le niveau x1 du facteur 1 et le niveau x2 du facteur 2 peuvent être considérés comme les coordonnées d'un point de l'espace expérimental (Figure 3). Une expérience donnée est alors représentée par un point dans ce système d'axes. Un plan d'expériences est représenté par un ensemble de points expérimentaux. F Facteur 2 F Facteur 1 Espace expérimental Mme N.AZOUAOU Page 4 Figure 3 : Dans l'espace expérimental, les niveaux des facteurs définissent des points expérimentaux. Le regroupement des domaines des facteurs définit le «domaine d'étude». Ce domaine d'étude est la zone de l'espace expérimental choisie par l'expérimentateur pour faire ses essais. Une étude, c'est-à-dire plusieurs expériences bien définies, est représentée par des points répartis dans le domaine d'étude (Figure 4). Cette façon de représenter une expérimentation par des points dans un espace cartésien est une représentation géométrique de l'étude. F Facteur 1 F Facteur 2 X1 X2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - X1 X1 Point expérimental Mme N.AZOUAOU Page 5 2.3Variables centrées réduites Lorsqu’on attribue la valeur −1 au niveau bas d’un facteur et la valeur +1 au niveau haut, cela entraîne l’introduction de nouvelles variables que l’on appelle variables centrées réduites (v.c.r) : centrées pour indiquer le changement d’origine et réduites pour signaler la nouvelle unité. On utilise également le terme de variables codées ou d’unités codées. Le passage des variables d’origine A aux variables codées x, et inversement, est donné par la formule suivante (A0 est la valeur centrale en unités courantes) : ݔ=ܣ−ܣ଴ ܲܽݏ L’intérêt des unités codées est de pouvoir présenter les plans d’expériences de la même manière quels que soient les domaines d’étude retenus et quels que soient les facteurs. La théorie des plans d’expériences présente ainsi une grande généralité. Les variables codées résultent du rapport de deux grandeurs de même unité physique, elles sont donc sans dimension. La disparition des unités naturelles associée au fait que tous les facteurs ont le même domaine de variation (deux unités codées) permet la comparaison directe des effets des facteurs entre eux. Avec ܲܽݏ= ஺శభି஺షభ ଶ etܣ଴= ஺శభା஺షభ ଶ 2.4Notion de surface de réponse Les niveaux xi représentent les coordonnées d'un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l'espace expérimental et on l'attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d'expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs. A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse (Figure 5). Le nombre et de l'emplacement des points d'expériences est le problème fondamental des plans d'expériences. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d’expériences. Mme N.AZOUAOU Page 6 Figure 5 : Surface de réponse Les réponses associées aux points du domaine d'étude forment la surface de réponse. Les quelques réponses mesurées aux points du plan d'expériences permettent de calculer l'équation de la surface de réponses. 2.5Notion de modélisation mathématique On choisit a priori une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. On prend un développement limité de la série de Taylor-Mac Laurin. Les dérivées sont supposées constantes et le développement prend la forme d'un polynôme de degré plus ou moins élevé : ܻ= ܽ଴+ ෍ܽ௜ܺ௜+ ෍ܽ ௜௝ ܺ௜ܺ ௝+ … +෍ܽ௜௜ܺ௜ ଶ+ܽ௜௝….௭ܺ௜ܺ ௝… . ܺ௭ Où • y est la réponse ou la grandeur d'intérêt. Elle est mesurée au cours de l'expérimentation et elle est obtenue avec une précision donnée. • xi représente le niveau attribué uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-m2-les-plans-d-experiences.pdf