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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir Département de Génie Mécanique Cours d

Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir Département de Génie Mécanique Cours de Maintenance Industrielle Préparé par : Mnaouar CHOUCHANE Niveau : 2ème année Génie Mécanique Année : 2019-20 ii Table de matières Avant-propos ............................................................................................................................. iii Chapitre I : Rappels mathématiques ........................................................................................... 1 Chapitre II : Modélisation de la fiabilité .................................................................................... 3 2.1 Principales définitions ..................................................................................... 3 2.2 La fonction fiabilité ......................................................................................... 3 2.3 Moyenne de temps de bon fonctionnement (MTBF) ...................................... 5 2.4 Le taux de défaillances .................................................................................... 6 2.5 Fiabilité conditionnelle ................................................................................... 7 2.6 La loi exponentielle ......................................................................................... 8 2.7 La loi de Weibull........................................................................................... 12 2.8 La loi normale ............................................................................................... 18 2.9 La loi log-normale ......................................................................................... 19 iii Avant-propos Ce cours est préparé en se basant essentiellement sur la référence suivante : Ebeling Ch. E, An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, McGraw-Hill, 1997. Une grande partie de ce fascicule de cours est adoptée de ce livre. Plusieurs exercices et figures sont aussi tirés de ce livre. 1 Chapitre I : Rappels Mathématiques Variable aléatoire On appelle variable aléatoire T une variable telle qu’à chaque valeur t de T , on associe une probabilité ( ) F t . Une variable aléatoire peut être : - continue : par exemple, l’intervalle de temps entre deux défaillances consécutives T ; - discrète : par exemple, le nombre N de défaillances d’un composant dans un intervalle de temps. Loi de probabilité Une loi de probabilité relative à une variable aléatoire continue T est caractérisée par - sa fonction de distribution ou densité de probabilité ( ) f t ; - sa fonction de répartition ou probabilité cumulée   ( ) Pr F t T t =    ( ) Pr F t T t =  : est la probabilité que la variable aléatoire T soit inférieure ou égale à t . La densité de probabilité ( ) f t est reliée à la fonction de répartition ou la probabilité cumulée ( ) F t par la relation suivante :   Pr ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 t T t t d F t F t t F t f t d t t t t t  +  +  − = = =   → → Propriétés d’une fonction de probabilité cumulée - ( ) F t est une fonction croissante - 0 ( ) 1 F t   - lim ( ) 0 F t t = →− - lim ( ) 1 F t t = → Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue -   Pr ( ) ( ) t t T F t f d   −  = =  - 0 ( ) 1 F t   - ( ) ( ) dF t f t dt = 2 - ( ) 1 f t dt  − =  -   2 1 1 2 2 1 Pr ( ) ( ) ( ) t t t T t f t dt F t F t   = = −  - ( ) ( ) E T t f t dt   − = =  où  est la moyenne de la variable aléatoire T qui est égale à l’espérance mathématique ( ) E T La variance de la distribution de la variable aléatoire T : 2 2 ( ) ( ) ( ) Var T t f t dt    − = = −  Pour une combinaison linéaire de variables aléatoires 1 n i i i T aT = = ; i T est une variable aléatoire de moyenne i  et de variance 2 i , 1 ( ) n i i i E T a  = =  et 2 2 1 ( ) n i i i Var T a  = = Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète Soit un ensemble de valeurs discrète finies que peut prendre la variable aléatoire discrète T :   1, , , i k t t t . On définit la probabilité de réalisation de toute valeur i t : Pr( ) i i p T t = = 0 1; 1, , i p i k   = La fonction de probabilité cumulée 1 1 1 0 si ( ) si 1 si i j i i j k t t F t p t t t t t + =     =        - 1 1 k j j p = =  - La moyenne 1 k j j j t p  = = - La variance 2 2 1 ( ) k j j j t p   = = −  3 Chapitre II : Modélisation de la fiabilité 2.1 Principales définitions Fiabilité La fiabilité est l’aptitude d’un dispositif à accomplir une fonction requise, dans des conditions données, pour une période de temps donnée. Défaillance La défaillance est la fin de l’aptitude d’un dispositif ou d’un système accomplir la fonction que l’on attendait de ce matériel. La défaillance peut être : - Une défaillance totale qui entraine la fin de la fonction ; - Une défaillance partielle qui réduise l’aptitude d’accomplir la fonction. Durée de vie Pour les dispositifs non réparables, on utilise la notion de durée de vie, qui est la durée de fonctionnement jusqu’à la défaillance totale. Temps de bon fonctionnement Pour les dispositifs réparables, on utilise l’intervalle de temps entre défaillance ou le temps de bon fonctionnement (TBF) qui est la durée de fonctionnement d’un dispositif réparable entre deux défaillances successives. Etats de fonctionnement d’un dispositif Dans ce chapitre on se le limite à deux états. Soit le dispositif est en état de fonctionnement ou il est en état de non fonctionnement suite à une défaillance. 2.2 La fonction fiabilité La fiabilité ( ) R t d’un matériel au temps t est la probabilité pour que la variable aléatoire T, non négative, représentant la durée de vie de ce matériel, soit supérieure à une valeur t :     ( ) Pr 1 Pr 1 ( ) R t T t T t F t =  = −  = − ( ) R t est la fiabilité au temps t du matériel ou la fonction de survie ; en anglais, reliability. 4 ( ) F t est la probabilité cumulée des défaillances au temps t , qu’on peut l’interpréter comme le pourcentage des dispositifs qui ont subi une défaillance avec le temps t. La fonction fiabilité a les propriétés suivantes : ( ) 0 R t  ; (0) 1 R = ; lim ( ) 0 R t t = → La probabilité que le temps de fonctionnement avant la défaillance T soit inférieur à t est     ( ) Pr 1 Pr 1 ( ) F t T t T t R t =  = −  = − Notons que (0) 0 F = et lim ( ) 1 F t t = → La fonction densité de probabilité ( ) f t est définie par ( ) ( ) ( ) d F t d R t f t dt dt = = − Cette fonction représente la forme de la distribution des défaillances. La densité de probabilité ( ) f t possède les deux propriétés suivantes : ( ) 0 f t  et 0 ( ) 1 f t dt  =  Les fonctions ( ) R t , ( ) F t et ( ) f t sont présentées dans la figure ci-dessous. Connaissant la densité de probabilité ( ) f t , on peut déterminer les fonctions ( ) F t , ( ) R t en utilisant les formules suivantes 0 ( ) ( ) t F t f d   =  ( ) ( ) t R t f d    = La probabilité qu’une défaillance se produit dans l’intervalle du temps   1 2 , t t   2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 0 0 ( ) Pr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t F t t T t f d f d f d F t F t R t R t       =   = = − = − = −    5 Source : Référence [x] Remarque La variable aléatoire T peut représenter, au lieu du temps, le nombre de kilomètres, le nombre de cycles, etc. 2.3 Moyenne de temps de bon fonctionnement (MTBF) La Moyenne de temps de bon fonctionnement MTBF est égale à l’espérance mathématique de la variable aléatoire T définie par l’expression suivante 0 MTBF ( ) ( ) E t t f t dt  uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-maintenance-industrielle-partie-1.pdf