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Exercice01 : Enoncé : Calcul de l’équilibre. Considérons le réseau de la ﬁgure

Exercice01 : Enoncé : Calcul de l’équilibre. Considérons le réseau de la ﬁgure suivant. Les fonctions de performances sont : Le taux de voyage entre le nœud 1 et le nœud 3 est de 4 : Trouvez les ﬂux d’équilibre de l’utilisateur en supposant que tous les chemins possibles sont utilisés. Pour cela, (a) Enumérez tous les chemins possibles. (b) Donnez la relation liant les ﬂux de chemins avec la demande totale ( ). Donnez les relations liant les ﬂux d’arcs aux ﬂux de chemins . (c) Exprimer le cout de parcours total pour chacun de ces chemins en fonction des temps de parcours des arcs. (d) Ecrire les conditions d’équilibre de l’utilisateur en supposant que tous les chemins possibles sont utilisés et les résoudre. Solution : On a : a) Les chemins possibles sont : Un chemin dans le graphe liant un couple origine - destination dans notre cas Fait par : Hellal Anis Matricule : 161631075697 M1 :2MIR O.S.I.L DEVOIRE 02 Rendu le 19 Avril 2020 b) Les relations entre les flux : 1. Les flux : 2. La relation liant les ﬂux de chemins avec la demande totale ( ) On a : 3. Les relations liant les ﬂux d’arcs aux ﬂux de chemins : c) Le cout de parcours total pour chacun de ces chemins en fonction des temps de parcours des arcs : Pour : Pour : d) Les conditions d’équilibre de l’utilisateur en supposant que tous les chemins possibles sont utilisés et la résolution : 1. Les conditions d’équilibre sont que Les couts de parcours total des chemins utilisés doivent être égaux donc : Ceci doit forcément être vrai car  Pour que les conditions d’équilibre c’est la question  Pour que les deux chemins soient utilisés, il faut que les temps de parcours des arcs 1et2 soient identiques. Comme les fonctions de temps de traversée d’arcs doivent être identiques.  Pour trouver une valeur de Vu que on a De plus Donc Par un calcul de discriminant pour cette équation (1) on trouve Et Remarque : on ne prend pas la deuxième valeur sinon sera 2. La résolution : Le temps de parcours de tous les chemins utilisés est égal. On est à l’équilibre de l’utilisateur. Exercice02 : Enoncé : Construction d’un nouvel axe. Considérons le réseau de transport de la ﬁgure suivant. Les temps de traversée des arcs sont exprimés ci-dessous en minutes en fonction de , le ﬂux de l’arc en milliers de voitures à l’heure : Le nombre de milliers de voitures désirant se rendre du point 1 (l’origine) vers le point 4 (la destination) est de 6 durant l’heure de pointe soit : (a) Énumérer tous les chemins possibles entre origine et destination. (b) En utilisant la symétrie du problème, il est facile de voir que les ﬂux à l’équilibre seront égaux sur chaque chemin. En déduire les ﬂux d’arcs, les temps de traversée d’arc, les temps de chemins. (c) Les autorités responsables estiment que ce temps est trop élevé et décident de construire une nouvelle route entre les nœuds 3 et 2. La fonction de temps de traversée de ce nouvel arc est la suivante : . Enumérer tous les chemins possibles pour ce nouveau réseau. (d) Un nouvel équilibre de l’utilisateur s’établit : cet équilibre est tel que le ﬂux total entre l’origine et la destination se réparti Équitablement entre les trois chemins possibles. En déduire les ﬂux d’arc, les temps de traversée d’arc, le temps de parcours de chaque chemin et vériﬁer si les conditions d’équilibre de l’utilisateur sont satisfaites. (e) Calculer le temps total passé par les usagers sur le réseau par l’une des formules suivantes : En comparant avec le temps total avant renforcement, quelle est votre conclusion sur l’utilité de cet investissement ? Solution : On a : a) Les chemins possibles sont : Un chemin dans le graphe liant un couple origine - destination dans notre cas b) Les relations entre les flux : 1. Les flux : 2. La relation liant les ﬂux de chemins avec la demande totale ( ) On a : Et comme les ﬂux à l’équilibre seront égaux sur chaque chemin Donc : 3. Les flux d’arcs : 4. Les temps de traversée : On a De plus : 5. Les temps de chemins. Pour : Pour : Le temps de parcours de tous les chemins utilisés est égal. On est à l’équilibre de l’utilisateur. On a un nouveau réseau avec : c) Les chemins possibles pour le nouveau réseau : d) Un nouvel équilibre de l’utilisateur s’établit : 1. Les flux : 2. La relation liant les ﬂux de chemins avec la demande totale ( ) On a : Et comme les ﬂux à l’équilibre seront égaux sur chaque chemin Donc : 3. Les flux d’arcs : 4. Les temps de traversée : On a De plus : 5. Les temps de chemins. Pour : Pour : Pour : Les conditions d’équilibre de l’utilisateur sont satisfaites car Le temps de parcours de tous les chemins utilisés est égal. On est à l’équilibre de l’utilisateur. e) Le temps total passé par les usagers sur le réseau : 1. Pour le premier réseau 2. Pour le deuxième réseau : On voit bien que Ma conclusion sur l’utilité de cet investissement c’est que cet investissement a augmenté temps total passé par les usagers sur chacun des réseaux . uploads/Ingenierie_Lourd/ hellal-anis-devoir-2.pdf