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Exercices Exercice I: Soient 3 variables centrées et normées y1,y2 et y3 observ

Exercices Exercice I: Soient 3 variables centrées et normées y1,y2 et y3 observées 100 fois (p 3 et n 100). La matrice des covariances est alors celle des corrélations. Soit:  1 1 2 −1 4 1 2 1 0 −1 4 0 1 1/ Calculer les valeurs propres de ? 2/ Calculer les vecteurs propres normés U1,U2 et U3? 3/ Exprimer les composantes principales z1,z2 et z3 en fonction des variables initiales y1,y2 et y3? 4/ Exprimer les variables initiales y1,y2 et y3 en fonction des composantes principales z1,z2 et z3? 5/ Dans l’espace de dimension 3, les n observations sont représentées par un nuage de n points. a/ Ecrire l’équation du meilleur plan ajustant ce nuage de points? b/ Ecrire l’équation de la meilleure droite ajustant ce nuage de points? 6/ Quel est le meilleur ajustement parmi a et b (ie. plan ou droite ?) 7/ A un instant donné, on a y1y31, mais y2 manque. Donner une estimation de y2 ? Correction de l’exercice I 1/ Calcul des valeurs propres de  det(−I0  1 − 1 2 −1 4 1 2 1 − 0 −1 4 0 1 − 0 soit 1 −3 −1 4 1 4 1 −−1 2 1 2 1 −0 1 −1 −2 − 5 16 0 donc ∈1;1.559;0.441 ainsi 1 1.559; 2 1 et 3 0.441 2/ Calcul des vecteurs propres U de coordonnées a1 , a2 et a3 : 1 1 2 −1 4 1 2 1 0 −1 4 0 1 a1 a2 a3  a1 a2 a3 avec a1 2 a2 2 a3 2 1 après résolution du système pour chaque , on prendra les vecteurs normés (on divisera par la norme). On obtient: U1  0.707 0.632 −0.316 U2  0 0.447 0.894 U3  0.707 −0.632 0.316 3/ Calcul des composantes principales z1,z2 et z3 en fonction des variables initiales y1,y2 et y3 : On déduit de 2/ que la matrice de changement de base est : U  0.707 0 0.707 0.632 0.447 −0.632 −0.316 0.894 0.316 ce qui donne Z en fonction de Y: z1 0.707y1 0.632y2 −0.316y3 z2  0.447y2 0.894y3 z3 0.707y1 −0.632y2 0.316y3 4/ Calcul des variables initiales y1,y2 et y3 en fonction des composantes principales z1,z2 et z3 : y1  0.707z1 0.707z3 y2  0.632z1 0.447z2 −0.632z3 y3 −0.316z1 0.894z2 0.316z3 5/ Dans l’espace de dimension 3, les n (n100) observations sont représentées par un nuage de n points. a/ Le meilleur plan d’ajustement est O,u1,u2d’équation : z3 0 donc: 0.707y1 −0.632y2 0.316y3 0 b/ La meilleur droite d’ajustement est O,u1d’équation : z2 z3 0 donc: 0.707y1 −0.632y2 0.316y3 0 0.447y2 0.894y3 0 6/ Quel est le meilleur ajustement parmi a et b (ie. plan ou droite ?) La qualité del’ajustement dans (a) est Q  1.5591 111 ≃85% ; on a donc un très bon ajustement puisqu’on n’a que 15% de la variancve qui est résiduelle. La qualité de l’ajustement dans (b) est Q  1.559 3 ≃52% Cet ajustement est également bon au sens de la compression de l’information (à comparer par exemple à 33% au critère aléatoire) 7/ A un instant donné, on a y1y31, mais y2 manque. Donnons une estimation de y2 ? Procédure directe : Comme il y a une seule valeur manquante (l 1), on utilisera l’ajustement par un plan (i.e.: l’espace de dimension p −l , p 3 et l 1). L’équation de ce plan est z3 0, soit 0.707y1 −0.632y2 0.316y3 0 ; ce qui donne pour y1y31 et y2 ≃1.62 Procédure itérative : On va retenir, par exemple, 2 composante principales (on tolérera une perte de 15% de l’information) donc q2. Les équations utiles sont donc: z1 0.707y1 0.632y2 −0.316y3 z2  0.447y2 0.894y3 et y2 0.632z1 0.447z2 puisque z3 0 itération 1: y1 1 y2 0 y3 1  z1 0.707 −0.316 0.391 z2 0.894  y1 1 y2 0.632 ∗0.391 0.447 ∗0.894 ≃0.6 y3 1 itération 2: y1 1 y2 ≃0.646 y3 1  z1 ≃1.045 z2 ≃1.356  y1 1 y2 ≃1.267 y3 1 itération 3: y1 1 y2 ≃1.267 y3 1  z1 ≃1.191 z2 ≃1.460  y1 1 y2 ≃1.405 y3 1 Ainsi de suite: itération 4: y2 ≃1.49 itération 5: y2 ≃1.54 itération 6 y2 ≃1.57 uploads/Ingenierie_Lourd/ exercice-corrige 5 .pdf