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I) Définition d’un vecteur de l’espace Définition Soit A et B deux points disti

I) Définition d’un vecteur de l’espace Définition Soit A et B deux points distincts de l’espace. On appelle vecteur de représentant (A, B) l’être mathématique noté AB et défini par : ☻ Sa direction qui est celle de la droite (AB) ☻ Son sens qui est de A vers B ☻ Sa longueur qui est la longueur du segment [AB] Si A = B alors AB est appelé vecteur nul qui sera noté0 . ► L’ensemble des vecteurs de l’espace est noté W. Conséquences ► AB = 0  A = B ► Pour tous points distincts A, B, C et D de l’espace,   DC AB ABCD est un parallélogramme. ► Pour tout point A et pour tout vecteur u il existe un unique point M tel que AM u  II) Addition des vecteurs de l’espace ► Soit BC v et AB u   deux vecteurs de l’espace. On appelle somme de v et u le vecteur AC noté v u  La relation AC BC AB   ,valable pour tous points A, B et C de l’espace, est appelée la relation de Chasles. ► Pour tous vecteurs W et v , u de l’espace on a : ☻ u v v u    (commutativité de l’addition) ☻ u 0 u   (0 est neutre pour l’addition) ☻ ) w v ( u w ) v u (      (associativité de l’addition) ► Pour tout vecteur u il existe un unique vecteur 0 v u que tel v   .Le vecteur et u de opposé l' appelé est v se note - u . ► Pour tous points A et B de l’espace on a BA AB   III) Multiplication d’un vecteur par un réel Définition Soit et AB u   un réel. On appelle produit de u noté vecteur le par u   et défini par : ☻ Si 0 u alors 0 u    ☻ Si AB AC que tel (AB) C où AC u alors 0 u       Page 1 sur 8 Prof : Boufares Amor Cours de géométrie dans l’espace 3ème Maths et 3ème sciences exp. Propriétés Pour tous vecteurs v et u de l’espace et pour tous réels  et on a : ► 0 u ou 0 0 u       ► u u . 1  ► u - u ). 1 (   ► u ) ( ) u (     (pseudo associativité) ► v u ) v u (       ► u u u ) (        IV) Colinéarité de deux vecteurs Définition Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un réel. Conséquences ► Soit A un point de l’espace et u un vecteur non nul de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que u et AM sont colinéaires est la droite passant par A et de vecteur directeur u que l’on note D(A, u ). ► Le couple (A, u ) est appelé repère cartésien de la droite D(A,u ). ► Deux droites D(A, u ) et D’(B, v ) sont parallèles si et seulement si u et v sont colinéaires. V) Combinaison linéaire des vecteurs Définition 1 Un vecteur w de l’espace est une combinaison linéaire des vecteurs v et u de l’espace si et seulement s’il existe deux réels v u w que tels et       . Définition 2 Trois vecteurs w et v , u de l’espace sont linéairement dépendants si et seulement si l’un est une combinaison linéaire de deux autres. On dit aussi que ces vecteurs sont coplanaires ou encore la famille { w , v , u } est liée. Trois vecteurs non linéairement dépendants sont dits vecteurs linéairement indépendants. Une famille non liée est dite famille libre. Conséquences ► Quatre points A, B, C et D sont dits coplanaires c à d appartiennent à un même plan si et seulement si les vecteurs AD et AC , AB sont linéairement dépendants. ► Soit A un point de l’espace et v et u deus vecteurs non colinéaires de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que v et u , AM sont linéairement dépendants est le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs v et u que l’on note P(A, v , u ). Page 2 sur 8 ► Deux plans P(A, v , u ) et P’(B, ' v , ' u ) sont parallèles si et seulement si les familles   ' v , ' u , u et   ' v , ' u , v sont liées. ► Deux plans P(A, v , u ) et P’(B, ' v , ' u ) sont sécants si et seulement si l’une des familles   ' v , ' u , u et   ' v , ' u , v est libre. ► Une droite ) w , B ( D est parallèle à un plan P(A, v , u ) si et seulement si la famille   w , v , u est liée. ► Une droite ) w , B ( D et un plan P(A, v , u ) sont sécants si et seulement si la famille   w , v , u est libre. VI) Bases et repères cartésiens de l’espace Définition 1 Le triplet   k , j , i et une base l’ensemble des vecteurs W de l’espace si et seulement si la famille   k , j , i est libre. Définition 2 Soit O un point fixe de l’espace. Le quadrilatère   k , j , i , O est un repère cartésien de l’espace si et seulement si   k , j , i est une base de W. Page 3 sur 8 Conséquences ► Tout point M est repéré dans l’espace par un triple unique de réels (x, y, z) c à d k z j y i x OM    . x est appelé l’abscisse de M dans le repère  k , j , i , O . y est appelé l’ordonnée de M dans le repère  k , j , i , O . z est appelé la cote de M dans le repère  k , j , i , O . (O, ) i est l’axe des abscisses. ) j , O ( est l’axe des ordonnées. ) k , O ( est l’axe des cotes. ► On sait qu’à tout vecteur u il existe un unique point M(x, y, z) tel que OM u  alors les réels x, y et z sont appelés les coordonnées ou encore les composantes du vecteur u dans la base   k , j , i on note           z y x u . ► Pour tous vecteurs                        z y x v et z y x u de l’espace et pour tout réel  on a : ☻                     0 z 0 y 0 x 0 z y x u ☻               z y x u Page 4 sur 8 ☻                    z z y y x x v u VII) Déterminant de trois vecteurs Définition On appelle déterminant des vecteurs                                        z y x w et z y x v , z y x u dans cet ordre le réel noté dét( ) w , v , u = z z z y y y x x x          et défini par dét( ) w , v , u = x y z - y x z x z y z x y - y z x - z y x y y x x z z z x x y - z z y y x                                     uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-math-geometrie-dans-lespace-3eme-math-2014-2015-mr-boufares-amor-pdf.pdf