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Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/

Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010 ' & $ % Loi Moment-Courbure simpliﬁée en béton armé NOTE TECHNIQUE Sommaire 1 Objet 3 2 Références 4 3 Notations 5 4 Axe neutre, secions rectangulaires sans aciers comprimés 7 5 Axe neutre, secions rectangulaires avec aciers comprimés 9 6 Calculs des lois moments courbures 11 6.1 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6.1.1 Courbure élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6.1.2 Courbure plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.1.3 Courbure ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2 Section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2.1 Courbure élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2.2 Courbure plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2.3 Courbure ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 Exemples 16 7.1 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.1.1 Calcul simpliﬁé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.1.2 Calcul détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2 Secion avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7.2.1 Calcul simpliﬁé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7.2.2 Calcul détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 Conclusions 22 c ⃝2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 1/ 22 Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010 ' & $ % Liste des ﬁgures 1 Géométrie de la section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Déformations et contraintes dans la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Géométrie de la section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Déformations et contraintes dans la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Contraintes à l’état ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Loi moment-courbure simpliﬁée, sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 Section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10 Loi moment-courbure simpliﬁée, avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . 20 11 Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Page : 2/ 22 c ⃝2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010 ' & $ % 1 Objet L’établiseement des lois moment-courbures pour des sections en béton armé est indispensable lors- qu’on s’intéresse au comportement non linéaire du béton armé. Cette situation se produit plus particulièrement dans les conditions d’analyse accidentelles telles que le séisme ou les chutes de charges. L’objet de cette note est de présenter une méthode simpliﬁée pour le calcul de la loi Moment-Courbure de sections rectangulaires en béton armé. Les hypothèses de calcul sont les hypothèses habituelles de calcul en béton armé : Ë Les sections planes restent planes pendant la ﬂexion. Ë Le béton et l’acier obéissent à la loi de Hooke. Ë Les déformations sont proportionnelles à la distance à l’axe neutre. Ë La résistance en traction du béton est négligée. Ë Une adhérnce parfaite est supposée entre le béton et l’acier. Ë les sections travaillent en ﬂexion simple (pas de compression). Les formules utilisées par la suite sont tirées de [1], [2] , [3] , [4]. Avant de calculer la loi moment courbure, il nous faut déterminer la position de l’axe neutre de la section, en fonction de la géométrie de la section et des aciers en présence. Deux cas sont à considérer : les sections sans aciers comprimés, et les sections avec aciers comprimés. c ⃝2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 3/ 22 Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010 ' & $ % 2 Références Documents généraux [1] J.L.Tanner N.J.Everard. Reinforced Concrete Design. Schaum’s Outline Series. Schaum’s, 1987. [2] T.Pauley M.J.N Priestley. Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings. Jhon Willey and Sons, 1992. [3] T.Pauley R.Park. Reinforced Concrete Structures. Jhon Willey and Sons, 1975. [4] Andrew Whittaker. Reinforced concrete structures. CIE 525, Module 04 :pp. 1–21, 2000. Page : 4/ 22 c ⃝2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Rédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010 ' & $ % 3 Notations Les notations utilisées dans les formules sont rappelées ci-aprés : • Ag = section du béton et des aciers • As = section des aciers de tension • A’s = section des aciers de compresssion • b = largeur de la section • h = hauteur totale de la section • yg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la ﬁbre supérieure • dg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la ﬁbre inférieure dg = h −yg • Ig = inertie de la section par rapport au centre de gravité • Cc = force de compression dans le béton • Cs = force de compression dans les aciers de compression • d = distance de la ﬁbre la plus comprimée aux aciers inférieurs • d’ = distance de la ﬁbre la plus comprimée aux aciers supérieurs • Ec = module d’Young du béton • Es = module d’Young de l’acier • n = coefﬁcient d’équivalence acier/béton, Es/Ec • fc = contrainte de compression dans le béton • ft = contrainte de traction dans le béton • fs = contrainte de traction dans l’acier • f ′ s = contrainte dans l’acier • fy = contrainte de plasticité de l’acier • I = moment d’inertie de la section • k = facteur permettant de localiser l’axe neutre • M = moment de ﬂexion • φ = courbure • ρ = ratio d’aciers de traction, As/bd • ρ′ = ration d’aciers de compression, A′ s/bd • ϵy uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-moment-courbure-construction-pdf.pdf