Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ministère de l’enseignement supérieure et de la recherche scientifique Universi

Ministère de l’enseignement supérieure et de la recherche scientifique Université d’Alger Faculté des Sciences Sciences de la matière -Plans factoriels complets- Année Universitaire 2021-2022 Présenté par : Dr I. LAKEHAL Planification d’expérience Master II-Chimie Analytique Page 2 Introduction Les plans factoriels complets à deux niveaux  Présentation n facteurs (A,B,C,…) sont étudiés chacun à 2 niveaux (2 valeurs) A -1/A1; B-1 /B1; C-1 /C1…) choisis par l’expérimentateur Le plan est dit factoriel complet si tous les niveaux de tous les facteurs sont programmés pour varier simultanément et de manière équilibrée dans l’ensemble de l’expérimentation. Page 3 Introduction 22 : 2 facteurs à 2 niveaux définissent 4 conditions expérimentales soit, • 4 essais s’il n’est pas prévu de répétitions • 8 essais si le plan est « dupliqué » (2 déterminations par condition) • 12 essais si le plan est « tripliqué »…..etc.. 23 : 3 facteurs à 2 niveaux définissent 8 conditions expérimentales soit, • 8 essais s’il n’est pas prévu de répétitions, 16 si le plan est « dupliqué » etc… 26 : 6 facteurs à 2 niveaux ,soit 64 conditions expérimentales soit, • 64 essais (pas de répétition) , 128 ( plan « dupliqué ») etc.. Ces « Plans 2K » sont ceux qu’il faut utiliser pour rechercher les facteurs agissant sur une réponse mesurée. Ce sont les plus simples à interpréter et ils présentent le meilleur rapport coût/efficacité. 21 : 1 facteurs à 2 niveaux définissent 2 conditions • 2 essais s’il n’est pas prévu de répétitions • 4 essais si le plan est « dupliqué » (2 déterminations par condition) • 6 essais si le plan est « tripliqué »…..etc.. Page 4 11 Introduction Ces plans permettent, certes, le calcul de tous les effets principaux et de toutes les interactions. Dans un plan 27; par exemple, on sera intéressé par les 7 effets principaux et par les interactions de 2ème ordre mettant en jeu 2 facteurs actifs (il n’y a au maximum que 21 interactions de ce type): il est raisonnable de penser qu'il n'est pas nécessaire de faire 128 essais pour obtenir ces renseignements. Un plan fractionnaire permet de réduire le nombre d'essais à effectuer ; on n'effectue dans l'expérimentation qu'une fraction des essais du plan complet. Pour étudier les effets éventuels de 7 facteurs (chacun à 2 niveaux), on peut effectuer: Page 5 Introduction Remarque : on ne peut pas choisir n'importe quels essais du plan complet : le fractionnement d'un plan doit obéir à des règles d’organisation. Un plan fractionnaire réalise, certes, des économies d'expériences ... mais il y a des contreparties ; des ambiguïtés peuvent survenir lors de l'interprétation des résultats, ceci d'autant plus fréquemment que le degré de fractionnement du plan complet est plus grand. On sera souvent amené avec les plans fractionnaires à effectuer des essais complémentaires pour lever ces ambiguïtés. Mais au total, l'obtention des renseignements recherchés nécessite presque toujours moins d'essais qu'avec le plan complet. Page 6 Avantages des plans factoriels complets: Les avantages des plans factoriels complets sont nombreux et nous n'en citerons que les principaux: Les plans factoriels sont faciles à construire; Comme chaque facteur ne prend que deux niveaux les essais sont faciles à contrôler et les risques d'erreurs sont minimisés; Le calcul des effets et des interactions est très simple et ne demande pas d'outils informatiques évolués; En les employant l'expérimentateur est sûr d'avoir la procédure expérimentale optimale puisque ces plans sont basés sur de matrices d'Hadamard et qu'il a été démontré que l'on ne pouvait pas faire mieux; L'interprétation des résultats est à la portée de tout expérimentateur et ne demande pas de connaissances approfondies en statistiques; La modélisation mathématique est immédiate; Les résultats obtenus avec un premier plan peuvent être utilisés en partie ou en totalité soit, pour explorer une autre zone du domaine expérimental soit, pour établir un modèle mathématique de degré plus élevé. Introduction Page 7 Plans factoriels complets 21 L’effet sur y du changement de x - à x + est (y 1 -y 2 ): c’est l’effet principal du facteur x 21 : 1 facteurs à 2 niveaux définit 2 conditions expérimentales soit, 2 essais s’il n’est pas prévu de répétitions Si l’on construit un modèle de régression par moindres carrés aux résultats de ces expériences: Page 8 Plans factoriels complets 22 Deux facteurs indépendants, deux niveaux 4 expériences (22 ) Pour deux facteurs, le domaine d'étude est un carré . Par exemple, la Figure représente un plan factoriel complet à deux facteurs. Remarque : les meilleurs emplacements des points d'expériences sont situés aux sommets du domaine d'étude. Page 9 Plans factoriels complets 22 Le modèle mathématique postulé est un modèle du premier degré par rapport à chaque facteur : Page 10 Plans factoriels complets 22 1- Représentation d'une étude sous forme de tableau Les représentations géométriques sont commodes et très parlantes mais dès que le nombre de facteurs est supérieur à trois, elles ne peuvent plus être employées. Pour les espaces multidimensionnels, on adopte une représentation en forme de tableau. Pour montrer la correspondance entre les deux représentations, géométrique et tableau, nous allons expliquer la construction du tableau rassemblant les expériences du plan 22 associé à la Figure suivante: Page 11 Ce tableau comprend trois colonnes, la première identifie les essais, la seconde et la troisième indiquent les coordonnées des points d'expériences. Ce tableau s'appelle Tableau d'expérimentation s'il est construit avec les unités physiques habituelles (Tableau 1) et Plan d'expériences s'il emploie les unités codées (Tableau 2). Dans ce dernier cas, on rappelle la signification des unités codées en indiquant, pour chaque facteur, leurs valeurs en unités physiques habituelles en bas du tableau. Plans factoriels complets 22 Page 12 Remarque : Les représentations géométriques et les représentations par tableaux sont équivalentes. Les tableaux (ou matrices) présentent l'avantage de pouvoir être utilisés quel que soit le nombre de facteurs, c'est-à-dire quel que soit le nombre de dimensions de l'espace expérimental. Il est utile de savoir passer d'une représentation à l'autre pour bien interpréter les résultats des plans d'expériences. Plans factoriels complets 22 Page 13 Plans factoriels complets 22 2-Présentation des résultats d'essais A chaque essai, l'expérimentateur mesure la réponse qu'il a choisie. Par exemple, la réponse de l'essai n°1 est Y1 . Celle de l'essai n°2 est Y2 , et ainsi de suite. Ces réponses sont indiquées en face chaque essai et sont rassemblées dans la colonne «Réponse» (Tableau 3). Page 14 Plans factoriels complets 22 3-Calcul des coefficients Les quatre points d'expériences apportent quatre équations: Page 15 Plans factoriels complets 22 Dans les cas d’un plan factoriel à deux niveaux la matrice X particulière, c’est une matrice orthogonale (est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou –1, tA A = In et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles) Ou: n est le nombre d’essais et I la matrice unité TXX= nI =( nI)TXY= (1/n) TXY Si l’on reporte ça dans la formule: On obtient : Page 16 Plans factoriels complets 22 La matrice des effets principaux et des effets des interactions ( une seule interaction pour deux facteurs) pour un plan factoriel complet pour deux facteurs est : Expérience Moyenne X1 X2 X12 Réponses (Y) 1 +1 -1 -1 +1 Y1 2 +1 +1 -1 -1 Y2 3 +1 -1 +1 -1 Y3 4 +1 +1 +1 +1 Y4 Effet ai a0 a1 a2 a12 Page 17 Plans factoriels complets 22 =( nI)TXY= (1/n) TXY Le développement de l’equation précédente permet d’obtenir chacun des coefficients : Page 18 Plans factoriels complets 22 La résolution de ce système donne la valeur des coefficients : Connaissant les coefficients, on peut écrire le modèle de régression qui servira à faire des prévisions Page 19 Plans factoriels complets 22 Exemple1: Un industriel prépare un médicament à partir des plantes naturelles et cherche À améliorer le rendement d’extraction du principe actif. Extraction est effectuée en présence du NaCl dont la concentration est 50 g/l et à une température de 70°C. L’industriel décide d’étudier ces deux facteurs et de les faire varier autour des consignes normales de fonctionnement d’où les facteurs et le domaine d’étude: [NaCl] : 40 et 60 g/l T° : 60 et 80 °C On donne: m1= 115 g ; m2= 185 g ; m3= 104 g et m4= 156 g Tableau d’experimentation N° essai [NaCl] T° 1 40 g/l 60 °C 2 60 g/l 60 °C 3 40 g/l 80 °C 4 60 g/l 80 °C Page 20 Plans factoriels complets 22 Plan d’experience et résultats expérimentaux N° essai [NaCl] T° 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 +1 4 +1 +1 Niveau -1 40 g/l 60°C Niveau +1 60 g/l 80°C Réponse 115 185 104 156 Y=masse (g) Nous allons procéder à 3 analyses : L’analyse de l’impact de [NaCl] L’analyse de l’impact de T° L’analyse de l’impact de [NaCl] et T° Modèle mathématique: Page 21 Plans factoriels complets 22 Les 4 points d’expérience apportent 4 équations: Expérience Moyenne X1 X2 X12 Réponses (Y) 1 +1 -1 -1 +1 115 2 +1 uploads/Ingenierie_Lourd/ cours3-planification-d-x27-experience-m2-s3-2021-2022-final.pdf