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Plans d'expériences Dr. YAHIAOUI Idris 2014/2015 République Algérienne Démocrat

Plans d'expériences Dr. YAHIAOUI Idris 2014/2015 République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université A. MIRA - Bejaia Faculté de Technologie Département de Génie des Procédés Les plans d’expériences Initiation à la construction et l’analyse des plans factoriels complets à deux niveaux et du plan composite centré Préparé par : Dr. YAHIAOUI Idris Plans d'expériences Dr. YAHIAOUI Idris 2014/2015 Les plans d’expériences, un outil indispensable à l’expérimentateur Les plans d’expériences permettent d’organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on cherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt « y » et des variables « xi ». L’utilisation des plans d’expériences permet d’obtenir un maximum de renseignements avec un minimum d’expériences. Pour cela, il faut suivre des règles mathématiques et adopter une démarche rigoureuse. Il existe de nombreux plans d’expériences adaptés à tous les cas rencontrés par un expérimentateur. Nous aborderons dans ce cours, la modélisation d’une réponse par la méthode de planification des expériences dans le cas des plans factoriels complets à deux niveaux et le plan composite centré. Plans d'expériences Dr. YAHIAOUI Idris 2014/2015 Contenu de la Matière Notions de calcul matriciel et Notions de statistique appliquées aux plans d'expériences 1. Introduction 01 2. Notions de calcul matriciel 02 3. Notions de statistique appliquées au plans d'expériences 07 Principe de la Méthodologie des plans d'expérience et Terminologie 4.1. Aperçu historique 22 4.2. Présentation des plans d’expériences 23 4.3. Contexte et objectifs des plans d’expériences 24 4.4. Principe 26 5. Terminologie 26 5.1. Variables réelles ( naturelles ) 26 5.2. Variables codées 26 5.3. Domaine d’étude 26 5.4. Plan d’expérimentation 26 5.5. Matrice d’expériences 26 5.6. Formules de codage 26 5.7. Effet d’un facteur 28 5.8. Notion d’interaction 28 6. Modélisation par les plans d’expériences 30 6.1. Matrice d’expériences 31 6.2. Matrice des effets 32 6.3. Calcul des coefficients du modèle 32 6.3.1 Analyse de régression sous forme matricielle 32 7. Analyse statistique 35 7.1. Vérification de la signification des coefficients 35 7.2. Validation du modèle 36 Plans factoriels complets à deux niveaux (2k) et Plan Composite Centré 8. Plans factoriels complets à deux niveaux (2k) 39 8.1 Avantages des plans factoriels complet 39 9. Plans composites centrés 41 9.1 Propriétés des plans composites 41 9.1.1 Modèle mathématique postulé 41 9.1.2 La matrice de calcul 42 9.2. Critères d’optimalité 43 9.2.1. Critère d’isovariance par rotation 43 9.2.2. Critère de presque orthogonalité 43 9.2.3. Critère de précision uniforme 43 Plans d'expériences Dr. YAHIAOUI Idris 2014/2015 Optimisation par les plans d'expériences 10. Optimisation 45 10.1 Notion de surface de réponse 45 10.2. Tracé des isoréponses ou surfaces de réponses 46 Annexe Références Bibliographiques Plans d'expériences 1 1. Introduction La plupart des ingénieurs et techniciens améliorent leurs produits ou leurs processus de production à partir des expériences. Malheureusement, les stratégies couramment utilisées pour mener ces expériences sont souvent coûteuses et peu performantes et elles conduisent à de nombreuses expériences difficiles exploitables. Pour toutes ces raisons, de nombreux ingénieurs et techniciens font appel à la planification des expériences. Les plans d'expériences permettent d'organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt (y) et des variables (xi). Elle a donc pour but de déterminer des modèles mathématiques reliant les grandeurs d’intérêt aux variables controlables. Les plans d'expériences apportent une aide notoire aux expérimentateurs et constituent un outil indispensable à toute élaboration de stratégies expérimentales sans restriction disciplinaire. Parmi les industries pouvant utiliser cette méthodologie, on peut notamment citer :  Industries chimique, pétrochimique et pharmaceutique;  Industries mécanique et automobile;  Industrie métallurgique. . Il existe de nombreux plans d'expériences pouvant être adaptés à tous les cas rencontrés par un expérimentateur. Leur utilisation vise les objectifs suivants :  La détermination des facteurs clés dans la conception d'un nouveau produit ou d'un nouveau procédé;  L’optimisation des réglages d'un procédé de fabrication ou d'un appareil de mesure;  La prédiction par modélisation du comportement d'un procédé. Les plans d'expériences s'inscrivent dans une démarche générale d'amélioration de la qualité. Plans d'expériences 2 Le succès de la démarche originale des plans d'expériences réside dans la possibilité d’aboutir aux résultats escomptés et d'interpréter ces résultats avec un effort minimal sur le plan expérimental. La minimisation du nombre d'expériences à effectuer pour une étude donnée permet un gain en temps et en coût financier. Il faut néanmoins comprendre que les plans d'expériences ne sont pas un outil destiné a priori à la recherche fondamentale car ils ne permettront jamais une explication du phénomène physico-chimique étudié. Plans d'expériences 3 2. Notions de calcul matriciel 2.1. Définition d'une matrice : Une matrice m×n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d’ordre (m, n) ou de dimension m × n. L’ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients réels se note Mm,n(R).            0 1 2 6 2 3 9 8 7 6 2 3 A A est une matrice de 3 lignes et 4 colonnes. A ∈M3,4(R), et on a : a13 = 6 et a31 =3 Cas particuliers : Une matrice A dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle :            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A  Une matrice ne contenant qu’une ligne (matrice 1 × n) est appelée matrice-ligne, ou encore vecteur ligne.  Une matrice ne contenant qu’une colonne (matrice m × 1) est appelée matrice-colonne, ou encore vecteur-colonne. 2.2. Matrice carrée Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes (matrice m×m) est appelée matrice carrée. L’ensemble des matrices carrées d’ordre m à coefficients réels se note Mm,m(R) ou plus simplement Mm(R). Dans une matrice carrée, la diagonale est constituée des éléments situés sur la diagonale de la matrice. Plans d'expériences 4 La diagonale d’une matrice            6 2 3 9 8 7 6 2 3 A , La diagonale de A est la suite des éléments dans la direction des flèches (3, 8, 6) 1.3. Matrice diagonale Une matrice carrée dont tous les éléments en dehors de la diagonale sont nuls (certains éléments de la diagonale peuvent aussi être nuls) est appelée matrice diagonale            6 0 0 0 0 0 0 0 3 A A est une matrice diagonale 1.4. Matrice identité On appelle matrice identité d’ordre n, la matrice carrée dont les éléments de la diagonale sont égaux à 1 et tous les autres sont égaux à 0. on la note In. I3 est une matrice identité d’ordre 3 1.5. Transposée d’une matrice Soit M une matrice m×n. La transposée de la matrice M est la matrice n×m notée MT dont les lignes sont les colonnes de M et les colonnes sont les lignes de M.            6 2 3 9 8 7 6 2 3 A et            6 9 6 2 8 2 3 7 3 T A AT est la transposée de la matrice A            1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I Plans d'expériences 5 2.6. Matrices inversibles Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que la matrice A est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que : A × B = In Remarque: Si on admet sous les hypothèses précédentes que A × B = B × A = In. Propriété: Soit A une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que A × B = In, alors B est unique. B est appelée l’inverse de la matrice A et se note A−1. Soit les matrices 2 × 2 E et F:          4 3 1 1 E et            1 3 1 4 F Le calcul du produit matriciel E × F qui est une matrice de dimension 2 × 2 conduit à : 2 1 0 0 1 I F E            Alors F l’inverse de la matrice E. On peut donc écrire :        uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-les-plans-d-x27-experiences.pdf