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www.tunisiamaths.com/m2 Lycée : Souassi Professeur : Fligène Wissem Date : 19/1

www.tunisiamaths.com/m2 Lycée : Souassi Professeur : Fligène Wissem Date : 19/10/2010 Devoir de Contrôle N°1 Epreuve : Mathématiques Classe : 2 S1 Durée : 1 heure - Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie - Exercice 1 : (2 points) Une mère de 37 ans a trois enfants âgés de 8, 10 et 13 ans. Dans combien d’années l’âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants ? Exercice 2 : (6 points) Résoudre dans : 1) 3 1 3 2 x x x x    2) 5 4 1 x x    3) 2 4 6 x   Exercice 3 : (4 points) Soit ABC un triangle. 1) Construire les points E et F tels que 3 AE AB      et 3 AF AC      2) Montrer que les vecteurs EF   et BC   sont colinéaires 3) On désigne par I et J les milieux respectifs des segments   BC et   EF a) Montrer que 6 AE AF AI        b) En déduire que les points A, I et J sont alignés Exercice 4 : (8 points) Soit   , , O i j  un repère orthonormé du plan. (Aucun schéma n’est demandé) On considère les points (0, 4) A ; ( 2,0) B  et   6,1 C . 1) Montrer que   , AB AC    est une base de l’ensemble des vecteurs du plan 2) a) Montrer que les vecteurs AB   et AC   sont orthogonaux. b) Déduire la nature du triangle ABC. 3) Soit   6,7 D  . Les points A, C et D sont-ils alignés ? 4) a) Calculer les distances BC et BD b) Déduire que le point B appartient à la médiatrice du segment  CD . www.tunisiamaths.com/m2 Correction Exercice 1 : Soitݔle nombre d’années doncݔ∈ℕ L’équation du problème est : 37 +ݔ= (8 +ݔ) + (10 +ݔ) + (13 +ݔ) (1 pt) Donc 37 +ݔ= 3ݔ+ 31 sig 2ݔ= 6 sigݔ= 3 (1 pt) Exercice 2 : 1) 3 1 3 2 x x x x    . Cette équation existe ssiݔ≠0 etݔ≠2 (0,5 pt) (3ݔ−1)(ݔ−2) = 3ݔ²݃݅ݏ3ݔ² −6ݔ−ݔ+ 2 = 3ݔ²݃݅ݏ−7ݔ= −2݃݅ݏ2 2 7 7 x     ܵℝ= ൜2 7ൠ(૚,૞࢖࢚) 2) 5 4 1 x x    . Cette inéquation existe ssi 5ݔ−4 ≥0 etݔ+ 1 ≥0 ssiݔ≥ ସ ହetݔ≥−1 ssiݔ∈ቂ ସ ହ,+∞ቂ∩[−1,+∞[ ssiݔ∈ቂ ସ ହ, +∞ቂ(૚࢖࢚)     2 2 5 4 1 x x    sig 5ݔ−4 >ݔ+ 1 sig 4ݔ> 5 sigݔ> ହ ସ ܵℝ= ൨5 4 , +∞൤∩൤4 5 , +∞൤= ൨5 4 , +∞൤(૚࢖࢚) 3) 2 4 6 x   sig   2 2 2 4 6 x   sig |2ݔ−4| = 36 sig 2ݔ−4 = 36 ou 2ݔ−4 = −36 sig 2ݔ= 40 ou 2ݔ= −32 sigݔ= 20 ouݔ= −16 ܵℝ= {20,−16} (૛࢖࢚) Exercice 3 : 1) (1pt) 2)ܨܧሬሬሬሬሬ⃗=ܣܧሬሬሬሬሬ⃗+ܨܣሬሬሬሬሬ⃗= 3ܣܤሬሬሬሬሬ⃗+ 3ܥܣሬሬሬሬሬ⃗= 3൫ܣܤሬሬሬሬሬ⃗+ܥܣሬሬሬሬሬ⃗൯= 3ܥܤሬሬሬሬሬ⃗donc EF   et BC   sont colinéaires (1pt) 3) a)ܧܣሬሬሬሬሬ⃗+ܨܣሬሬሬሬሬ⃗= 3ܤܣሬሬሬሬሬ⃗+ 3ܥܣሬሬሬሬሬ⃗= 3൫ܤܣሬሬሬሬሬ⃗+ܥܣሬሬሬሬሬ⃗൯= 3൫2ܫܣሬሬሬሬ⃗൯൫ܤܣሬሬሬሬሬ⃗+ܥܣሬሬሬሬሬ⃗= 2ܫܣሬሬሬሬ⃗݌ܫ݁ݑݍݏ݅ݑ=ܤ∗ܥ൯ donc 6 AE AF AI        (1pt) b) Puisqueܬ=ܧ∗ܨalorsܧܣሬሬሬሬሬ⃗+ܨܣሬሬሬሬሬ⃗= 2ܬܣሬሬሬሬ⃗et comme 6 AE AF AI        alors 2ܬܣሬሬሬሬ⃗= 6ܫܣሬሬሬሬ⃗doncܬܣሬሬሬሬ⃗= 3ܫܣሬሬሬሬ⃗d’où A, I et J sont alignés (1pt) Exercice 4 : 1)ܤܣሬሬሬሬሬ⃗ቀݔ஻−ݔ஺ ݕ஻−ݕ஺ቁdoncܤܣሬሬሬሬሬ⃗ቀ−2 −4ቁ ܥܣሬሬሬሬሬ⃗ቀ6 −3ቁ ቚ−2 6 −4 −3ቚ= (−2) × (−3) −(−4) × 6 = 6 + 24 = 30 ≠0 doncܤܣሬሬሬሬሬ⃗etܥܣሬሬሬሬሬ⃗ne sont pas colinéaires d’où   , AB AC    est une base de l’ensemble des vecteurs du plan (2 pt) 2) a) (−2) × 6 + (−4) × (−3) = −12 + 12 = 0 doncܤܣሬሬሬሬሬ⃗⊥ܥܣሬሬሬሬሬ⃗(1,5 pt) b) ABC est un triangle rectangle en A (0,75 pt) 3)ܦܣሬሬሬሬሬ⃗ቀ−6 3 ቁalorsܦܣሬሬሬሬሬ⃗= −ܥܣሬሬሬሬሬ⃗doncܦܣሬሬሬሬሬ⃗etܥܣሬሬሬሬሬ⃗sont colinéaires (ils sont opposés plus exactement) donc A, C et D sont colinéaires (1,5 pt) 4) a)ܥܤ= ඥ(6 + 2)ଶ+ (1 −0)² = √65 (0,75 pt) ܦܤ= ඥ(−6 + 2)ଶ+ (7 −0)² = √65 (0,75 pt) b)ܥܤ=ܦܤdonc B appartient à la médiatrice du segment   CD (0,75 pt) uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-avec-correction-math-2eme-sciences-exp-2010-2011-mr-wissem-fligene 3 .pdf