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INTELLIGENTSIA CORPORATION 698222277 MINISTÈRE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES OFFICE DU BACCALAURÉAT DU CAMEROUN INTELLIGENTSIA CORPORATION Leader dans la préparation et la formation aux concours d’entrée dans les grandes écoles du pays. Examen : Baccalauréat Session :2022 Épreuve : Mathématiques Série : C/E Durée : 4h Coefficient : 7(C) / 6(E) PARTIE A : ÉVALUATIONS DES RESSOURCES : 15 points EXERCICE 1 : 6 points Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, ⃗ e1, ⃗ e2, ⃗ e3), (D) est la droite d’équation x = 3,(H) est l’ensemble des points M d’affixe z tel que : |z| |z + z +6| = p 2 2 . S est la similitude directe de centre O, de rapport 2 et d’angle −π 2 . 1. Montrer que d(M,(D)) = 1 2 |z + z +6|. 0,5pt 2. En déduire que (H) est l’ensemble des points M du plan tel que : MO d(M,(D)) = p 2. 0,5pt 3. En déduire la nature, l’excentricité, un foyer et une directrice de (H). 1pt 4. (a) Démontrer que l’équation de (H) dans le repère (O, ⃗ e1, ⃗ e2, ⃗ e3) est : x2 −y2 +12x+18 = 0. 1pt (b) Construire (H) en précisant tous ces éléments caractéristiques. 1pt 5. Donner l’écriture complexe de S. 1pt 6. Déterminer une équation de (H)′, l’image de (H) par S et le construire dans le repère précédent. 1pt EXERCICE 2 : 4 points Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l’urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l’urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l’urne et on note b le numéro du jeton tiré. Soit ³ O,⃗ ı,⃗ ȷ,⃗ k ´ un repère orthonormé de l’espace, ⃗ u et ⃗ v les vecteurs de coordonnées respectives (a;−5;1,1−a) et (1+ b;1;b). 1. Calculer la probabilité pour que ces vecteurs soient orthogonaux. 0,5pt 2. On renouvelle quatre fois de suite l’expérience précédente. On désigne par X le nombre de réalisation de l’événement : « les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont orthogonaux »au cour des quatres épreuves. (a) Déterminer la loi de probabilité de X. 1pt (b) Calculer Espérance mathematique de X. 0,5pt 3. Soit (Un), la suite de terme général Un = µa+ b b2 ¶n . Calculer la probabilité que la suite (Un) soit stricte- ment croissante. 0,5pt 4. Calculer la probabilité de l’équation (E) : 18x−by = a+4 d’inconnu (x; y) admette des solutions dans Z2. 0,75pt 5. Calculer la probabilité pour que l’équation caractéristique de (E‘)admet deux solutions réels. On donne : (E)‘ : ay"+ by′ +6y = 0. 0.75pt DIM BIHA JEAN LAUREL /ENS YDÉ page 1 sur 3 INTELLIGENTSIA CORPORATION INTELLIGENTSIA CORPORATION 698222277 EXERCICE 3 : 3,5 points Soit (In) une suite définie par : I0 = Z1 0 exdx et pour n ≥1, In = Z1 0 xnex. 1. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout entier naturel non nul n, In+1+(n+1) In = e. 0,5pt 2. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel non nul n : In = an + bne où an et bn sont des entiers relatifs. 3. Calculer a0 et b0 et vérifier que an+1 = −(n+1)an et bn+1 = 1−(n+1)bn. 4. justifier que bn et bn+1 sont premier entre eux. 5. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : an = (−1)n!n et bn = 1 −n + n(n −1) + ··· + (−1)n n!. EXERCICE 4 : 2.5points On considère l’équation différentielle (E) : y"+4y = 3cosx dans laquelle y désigne une fonction d’inconnu x. 1. (a) On pose y = z + acosx,a étant un réel. Former l’équation que satisfait z si y est solution de (E). (b) Déterminer a pour que cette équation se réduise à z"+4z = 0. 2. Résoudre l’équation z"+4z = 0 et en déduire les solutions de (E). 3. Déterminer la solution particulière f de (E) vérifiant les conditions initiales : f (0) = 0, f ′ ³π 2 ´ = 0. PARTIE A : ÉVALUATIONS DES COMPÉTENCES : 4,5 points Un groupe de chercheurs habitant Olembe se déplacent tous les jours pour se rendre dans un laboratoire de recherche sur les plantes situées à Mendong. Pour leur déplacement, il empreinte un autobus dont le réseau des lignes est défini par le graphe ci après où les sommets désignent les arrêts, une arrête entre deux sommets signifie que les deux arrêts correspondantes sont liés par une route et le poid d’une arête désigne la durée du parcours en minutes. Dans ce laboratoire, pour protéger les plantes contre d’éventuels attaques des bactéries destructrices, on produit généralement 30 kg bactéries protectrices. Pour cela on introduit initialement dans une cuve de milieu nutritif de capacité 20 l, 1 kg de bactéries chaque jour. Après une heure fixe, on vide la cuve l’aide de deux récipients C1 de capacité 3 l et C2 de capacité 2 l. On mobilise l’évolution de la population des bactéries dans la cuve par la fonction f définie par : 50 1+49e−0,2t , où te est le temps exprimé en jour et f (t) la masse exprimé en kg, des bactéries au temps t Tâche 1 : Quel est le temps minimal pour ses jeunes chercheurs pour aller de Olembe (sommet A) à Mendong (sommet H)? Tâche 2 : Au bout de combien temps la masse des bactéries depassera-elle 30kg? Tâche 3 : De combien de façon peut-on procéder à la vidange de la cuve? IL SUFFIT D’Y CROIRE... DIM BIHA JEAN LAUREL /ENS YDÉ page 2 sur 3 INTELLIGENTSIA CORPORATION INTELLIGENTSIA CORPORATION 698222277 DIM BIHA JEAN LAUREL /ENS YDÉ page 3 sur 3 INTELLIGENTSIA CORPORATION uploads/Ingenierie_Lourd/ epreuve-2.pdf