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EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) Soit f : P  P ; M( Z ) M’; ) ’ ) avec : ) ’ = 1-

EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) Soit f : P  P ; M( Z ) M’; ) ’ ) avec : ) ’ = 1-i 2 Z – 2 + 2 i . 1 ) a ) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω , le ƌappoƌt et l’aŶgle . b ) On pose M ( x , y ) et M’ ; ǆ’ , Ǉ’ ) . Eǆpƌiŵeƌ ǆ et Ǉ eŶ foŶctioŶ de ǆ’ et Ǉ’ . 2 ) On donne la courbe (  ) d’éƋuatioŶ : x y – 2 x – 3 y – 1 = 0 et f (  ) =  ’ . a ) Montrer que (  ’ ) a pour équation : x' 2 – y' 2 – x' + 3 y' – 9 = 0 b ) Prouver que (  ’ ) est une hyperbole et donner son centre , ses foyers et ses directrices . c ) En déduire la nature de (  ) et ses caractéristiques . EXERCICE N : 2 ( 7 points ) Dans un plan orienté ,on considère le losange ABDC de centre O tel que    , ( AB AC ) 2 (2 π) où ] 0 , π 2 [ et BC = 2 unités . ( Pour le traçage de la figure on prend = π 6 ) On désigne par K et J les projetés orthogonaux respectifs de O et D sur ( AC ) et par E = SK ( O ) . A ) 1 ) Soit S la similitude directe qui transforme B en O et C en E . a ) Montrer que S a pour angle  et pour rapport cos . b ) Prouver que A est le centre de S . 2 ) Soit  la similitude indirecte telle que  ( B ) = O et  ( C ) = E . a ) Prouver que  admet un centre qu'on note Ω . b ) Montrer que  ( O ) = K puis déduire que Ω K = Ω  2 cos B . c ) Montrer que JK BD =  2 cos puis déduire que   ( D ) = J . d ) Construire Ω et l'axe Δ de  . B ) Dans cette partie on munit le plan du repère orthonormé direct R ( O , OC , v ) . 1 ) Prouver que : ZK =  2 cos + i cos sin . 2 ) Montrer que : Ω Z = 2 cotan 2 + i cotan  . 3 ) On suppose que B et C sont fixes , prouver alors que lorsque  décrit ] 0 , π 2 [ le point Ω varie sur une parabole fixe (P ) dont on précisera le sommet , le foyer F et la directrice (D ) . - 1 - Lycée Houmet Souk Prof : Loukil Mohamed Devoir de Contrôle N : 2 Durée : 2 Heures 4 Mathématique 1 19 - 02 - 2019 EXERCICE N : 3 ( 8.5 points ) Pour tout n  IN* on note fn la fonction définie sur [ 0 , + [ par : f n( x ) = n -x e x n! . On désigne par ( Cn ) la courbe de fn dans le repère orthogonal R ( O ; i ; j ) tel que : i =1 et j =10 A ) 1 ) a ) Etudier les variations de f1 sur [ 0 , + [ . b ) Pour tout n  IN* \{ 1 } , dresser le tableau de variations de fn sur [ 0 , + [ . 2 ) Pour tout n  IN* , étudier les positions relatives de ( C n+1 ) et ( Cn ) . 3 ) On a tracé dans l'annexe les courbes ( C1 ) et ( C3 ) . a ) Sans justification , graduer le repère puis nommer sur l'annexe les deux courbes . b ) Tracer soigneusement la courbe ( C2 ) ainsi que les demi-tangentes à l’oƌigiŶe pour chacune des trois courbes . B ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN* par : Un = f n ( n ) . 1 ) a ) En utilisant les résultats de la parie A ) démontrer que ( Un ) est décroissante sur IN* . b ) ( Un ) est-elle convergente ? ( Justifier votre réponse ) . 2 ) a ) Montrer que pour tout t  [ 0 , 1] , 1 1+t  1 - t 2 . b ) Déduire que pour tout x  [ 0 , 1 ] ; ln( 1 + x )  x - 2 x 4 . c ) Prouver alors que pour tout n  IN*, ( 1 + 1 n ) n  1 1 - 4n e 3 ) a ) Démontrer que pour tout n  IN* , n +1 n U U  1 - 4n e . b ) En déduire que pour tout IN* \{1} on a : Un   n -1 k=1 1 1 -( 1 + ) 4 k e . 4 ) a ) Connaissons que pour tout k  IN* et t  [ k , k+1] on a : 1 t 1 k , montrer que pour tout n  IN* \{1} on a :  n 1 dt t   n -1 k=1 1 k . b ) En déduire que pour tout n  IN* \{1} on a : Un  1 - 1 - ln (n) 4 e . c ) Déterminer alors la limite de la suite ( Un ) . - 2 - Nom et Prénom : Annexe à rendre avec la copie y O x - 3 - uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n02-1er-semestre-math-bac-mathematiques-2018-2019-mr-loukil-mohamed.pdf