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Composition 1è période 2005- 2006 Mathématiques Séries : SET–MTI–MTGC Académie

Composition 1è période 2005- 2006 Mathématiques Séries : SET–MTI–MTGC Académie R.G Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique de Bamako EXERCICE 1 : (6 points) 1° ) Soit f une fonction numérique satisfaisant aux conditions suivantes : • Son ensemble de définition est ] [ ] [ ∞ + ∪ ∞ − = ; 4 4 ; Df ; • ) ( ' x f est positive sur ] [ ] [ ∞ + ∪ − ∞ − ; 4 1 ; et ) ( ' x f est négative sur ]-1 ;4[ où ' f désigne la fonction dérivée de f ; • 0 ) 6 ( ) 2 5 ( ; 3 ) 1 ( ; 4 11 ) 0 ( = = = − = f f f f • 0 1 ) 1 ( ) ( lim 1 ) 1 ( ) ( lim , 0 ) 5 ) ( ( lim , ) ( lim , ) ( lim , 1 ) ( lim 1 1 4 = + − − ∞ − = + − − = + − ∞ − = ∞ + = = + − − → − → ∞ + → → ∞ + → ∞ − → x f x f et x f x f x x f x f x f x f x x x x x x En utilisant les renseignements ci-dessus : a) Dresser le tableau de variation de f b) Préciser les équations des asymptotes à la courbe ) (C de f dans le plan muni d’un repère orthonormé ) ; ; ( j i O . (Unité graphique 1cm). 2° ) La fonction est-elle dérivable au point d’absci sse x0 = –1 ? Justifier votre réponse. 3° ) Construire la courbe ) (C et ses asymptotes dans le repère ) ; ; ( j i O . Préciser les tangentes ou demi tangentes à ) (C que les renseignements vous donnent. 4° ) Tracer dans le même repère la courbe ) ' (C de f . On considère l’ensemble E = ℤ/7 ℤ et la fonction f de E vers E qui à tout x associe 5x+3. a) Montrer que f est une bijection de E sur E. b) Donner l’expression de la réciproque 1 − f de f . c) Résoudre dans E l’équation x2 – 3x + 2 = 0. Compo 1ème période 2006 MTI – MTGC Page 01 Adama Traoré Professeur Lycée Technique B A EXERCICE 2 : (4 points) ℂ est le corps des nombres complexes et P (z) est le polynôme à variable complexe z définie par 10 18 15 6 ) ( 2 3 4 + − + − = z z z z z P 1° ) Vérifier que si z 0 est un zéro de P(z) alors son conjugué 0 z est aussi un zéro de P(z). 2° ) Vérifier que 1–i est un zéro de P (z). 3° ) Résoudre dans ℂ l’équation P (z) = 0. 4° ) Représenter dans le plan complexe les points im ages des solutions de l’équation P(z) = 0. On considère l’entier naturel abcabc N = écrit dans le système de numération décimale : a) Montrer que N est divisible par 11 et qu’il peut s’écrire abc k N × = où k est un entier naturel que l’on précisera. b) En déduire que N est divisible par 7 et 13. PROBLEME : (10 points) A tout nombre complexe z on considère le nombre complexe Z = i z i z 2 1 4 2 − + + − . a) Déterminer l’ensemble des valeurs de z pour lesquelles Z est défini. b) Déterminer les ensembles des points M dont l’affixe z vérifie les conditions suivantes : • 1 = Z • Z est un réel ; • Z est un imaginaire pur. Compo 1ème période 1997 MTI – MTGC Page 02 Adama Traoré Professeur Lycée Technique A B A On pose ℰ = ℂ - {i} où ℂ est l’ensemble des nombres complexes ; f l’application de E dans ℂ définie par : i z iz z f z + = ) ( a . Soit M le point d’affixe z dans le plan complexe muni du repère orthonormal ). ; ; ( v u O 1° ) Déterminer les coordonnées du point B d’affixe z0 telle que . 2 1 ) ( 0 i z f + = 2° ) Soit z élément de ℰ. On désigne par r le module de z+i et θ une mesure de son argument. Exprimer la forme trigonométrique de i z f − ) ( en fonction de r et de θ. 3° ) Soit A le point d’affixe –i. a) Déterminer l’ensemble C des points M dont l’affixe z vérifie : 2 ) ( = −i z f et l’ensemble D des points M d’affixe z tels que 4 π soit une mesure de l’argument de i z f − ) ( . b) Montrer que B appartient à C et D. Construire C et D. Soit m où m x m x m x f x IR IR f m m 5 ) 4 ( ) 1 2 ( ) ( ; : 2 4 + − + − − = → a est un paramètre réel. 1° ) Montrer que les courbes représentatives ( Cm) de m f passent par deux points fixes A et B dont on précisera les coordonnées. 2° ) Montrer que les courbes ( Cm) admettent un axe de symétrie et donner son équation. 3° ) Soit m = 1, construire la courbe ( C1) représentant les variations de 1 f dans le plan muni d’un repère orthonormal ) ; ; ( j i O . 4° ) Montrer que les tangentes aux points fixes se c oupent en un point I de l’axe de symétrie. Donner les coordonnées de I. 5° ) Discuter suivant les valeurs du réel t l’existe nce et le signe des solutions de l’équation : x4 – 5x² + 4 – t = 0. Compo 1ème période 2006 MTI – MTGC Page 03 Adama Traoré Professeur lycée Technique C B uploads/Ingenierie_Lourd/ exercice-1-6-points-site-mathstice-de-adama-traore-lycee-technique-de-bamako.pdf