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Khnisse A.S :2011/2012 Devoir de contrôle N°2 Durée: 2.h Exercice N°1: ( 4 pts

Khnisse A.S :2011/2012 Devoir de contrôle N°2 Durée: 2.h Exercice N°1: ( 4 pts ) Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou « FAUX » Sans justification. On donne ci-contre les variations d’une fonction f définie et dérivable sur  1/ L’inéquation f(x) 1  n’admet pas de solutions dans  2/ Pour tout réel x on a : f(x) 2  3/ La fonction f est paire 4/ f '(1) 0  5/ x 1 lim f(x)   6/ fof(0) 1  7/ xlim fof(x) 0   8/ x 2 f(x) 1 lim 0 x 2     Exercice N°2: (4pts ) L’espace est rapporté d’un repère orthonormé direct (O,i ,j,k )   On donne les points A(3,0,0);B(0,1,1) et C( 1,1,2) et D(3,1,1)  1/ Montrer que ABC est triangle puis calculer son aire 2/a) Montrer que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume b) Déduire la distance DH où H le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) 3/ Soit H’ le projeté orthogonal de D sur la droite (AC) a) Calculer d(D,(AC)) b) Montrer que le triangle DHH’ est un triangle rectangle Exercice N°3: ( 6pts ) L’espace est rapporté d’un repère orthonormé direct (O,i ,j,k )   On donne les points A(1,0,0);B(0,0,1) et C(1, 1,1)  1/a) Déterminer AB AC      . Déduire que les points A, B et C déterminent un plan P. b) Vérifier qu’une équation cartésienne de P est x y z 1 0  2/ Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que : 2 2 2 x y z 2x 2z 1 0      a) Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R b) Montrer que S P  est le cercle circonscrit au triangle ABC 3/a)Déterminer une équation cartésienne de du plan Q passant par I et parallèle à P b) Donner une représentation paramétrique de la droite  passant par A et perpendiculaire à P c) Déterminer les coordonnées du point A’ point d’intersection de  et Q Exercice N°4( 6 pts ) Soit U la suite définie sur  par 0 n 1 n U 0 U 3U 4 ; n            1/a) Montrer que pour tout n n ; 0 U 4     b) Montrer que U est strictement croissante c) Déduire que U est convergente est calculer sa limite 2/a) Montrer que pour tout n 1 n 1 n de on a :0 4 U (4 U ) 2       b) Déduire que pour tout n n 1 n de on a :0 4 U 4( ) 2     c) Retrouver n nlim U  3/ Pour tout n * n k k 1 n on pose:S U     a) Montrer que n n 1 0 4n S 4(1 ( ) ) 2     b) Déduire n nlim S  Correction devoir de contrôle n°2(4sc) Exercice N°1 1/ Faux 2/ Faux 3/ Faux 4/ Faux 5/ Faux 6/ Vrai 7/ Faux 8/ Vrai Exercice N°2 1/ On a : 3 4 1 AB 1 et AC 1 donc AB AC 2 1 2 1                                      AB AC 0        d’où A ,B et C non alignés et par suite ABC est triangle  2 2 2 ABC 1 1 6 A AB AC 1 2 1 u.a 2 2 2           2/a) On a   AB AC .AD 1 0 2 1 1 1 3 0         donc A,B,C et D ne sont pas coplanaires et par suite ABCD est un tétraèdre de volume   1 1 V AB AC .AD u.v 6 2        b)   DH est la hauteur issue de D du tétraèdre ABCD d’où ABC ABC DH.A 3.V 3 V DH 3 A 6     3/a)   2 2 2 2 2 2 DA AC 1 4 4 33 11 d D,(AC) 7 21 AC 4 1 2               b) H' (AC) (ABC) et H (ABC) donc (HH') (ABC) or (DH) (ABC) donc(HH') (DH)       d’où DHH’ est triangle rectangle en H Exercice N°3 1/a) 0 1 1 0 1 0 AB AC i j k i j k 1 1 1 1 0 1                           AB AC 0        d’où A ,B et C non alignés et par suite ils déterminent un plan b) AB AC      est un vecteur normal à P M(x,y,z) P AM.(AB AC) 0 x y z 1 0          D’où le résultat. 2/a)         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M(x, y,z) S x y z 2x 2z 1 0 x 1 1 y z 1 1 1 0 x 1 y z 1 1                      D’où S est une sphère de centre I(1 , 0 ,1 ) et de rayon R=1 b) A, B et C sont trois points du plan P et on vérifie facilement que A,B et C sont trois points de S d’où S P  est le cercle circonscrit au triangle ABC 3/ a) Q//P Q : x y z d 0    ; Or I(1,0,1) Q 1 0 1 d 0 d 2      Donc Q : x y z 2 0   b) P P n est un vecteur directeur de      p x 1 M(x, y,z) AM n y ; z                c) x 1 x 1 y y 4 1 1 A'(x, y,z) P A' , , z z 3 3 3 x y z 2 0 1 2 0                                    Exercice N°4 1/a) Soit n P : n ; 0 U 4      0 Pourn 0 on a:0 U 0 4     d’où P est vraie  Soit n n 1 n ; Supposons que :0 U 4 et Montrons que 0 U 4.        n n n n n 1 on a : 0 U 4 0 3U 12 4 3U 4 16 0 4 3U 4 16 0 U 4                   Cl : n n ; 0 U 4     b)    2 2 2 n 1 n n n n n U U 3U 4 U U 1 U 4 0        donc n 1 n n U U car U 0   d’où U est une suite strictement croissante c) * U est une suite strictement croissante et majorée par 4 donc elle converge vers une limite L * Soit f la fonction définie par f(x) 3x 4   On a   n n 1 4 f(U ) U et f est continue sur ; or L 0;4 3            doc f est continue en L   2 2 donc f(L) L 3L 4 L 3L 4 L L 3L 4 0 L 1 0;4 ou L 4               D’où U converge vers 4 2/a) On a :   n 1 n n n 3 4 U 4 3U 4 4 U 4 3U 4          Or n n n n 1 1 1 3 3 1 0 U 4 6 4 3U 4 8 uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n02-2011-2012-sahline-monastir.pdf