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Exercices sur la géométrie affine 1 Soit ABCDEFGH un cube de l’espace. Détermin

Exercices sur la géométrie affine 1 Soit ABCDEFGH un cube de l’espace. Déterminer     AFG BCH o S S . 2 Soit ABC un triangle indirect dans le plan orienté. A l’extérieur de ce triangle, on construit les points I et J tels que les triangles ABI et BCJ soient isocèles rectangles respectivement en I et J. On note O le milieu de [AC]. Démontrer que le triangle OIJ est isocèle rectangle en O. Indication : considérer J, I, 2 2 o R R               . 3 Soit ABCD un carré direct dans le plan orienté. On note I le centre de ABCD et J le milieu de [CD]. 1°) Préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s qui transforme A en I et B en J. Construire son centre . 2°) Déterminer l’image par s de la droite (BC). En déduire l’image du point C par s, puis le point K image par s du point I. 3°) On pose h = s o s. a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation h. b) Démontrer que les points A,  et K sont alignés. 4 Dans l’espace orienté muni d’un repère orthonormé direct   O, , , i j k  , on considère les plans 1 P et 2 P d’équations cartésiennes respectives 3 3 0 x y    et 3 1 0 x y   . On se propose de déterminer 2 1 o P P f S S  . 1°) Déterminer   1 1 O D P x y   et   2 2 O D P x y   . (On pourra faire une figure dans le plan (xOy).) 2°) Soit 1 u    et 2 u   deux vecteurs respectivement directeurs de D1 et D2. Déterminer une mesure en radians de l’angle orienté   1 2 , u u     dans le plan (xOy) (orienté tel que la base   , i j  soit directe). En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f. 5 Soit ADEF un carré indirect de côté 1 dans un plan affine euclidien orienté. On note I le milieu de [AF], B le point de la demi-droite [AF) et C le point tel que ABCD soit un rectangle. On cherche une similitude directe s qui transforme respectivement A, B, C, D en B, C, E, F. 1°) On suppose qu’une telle similitude existe. a) Quel est son rapport et son angle ? b) Démontrer en considérant s o s que son centre  est le point d’intersection des droites (AC) et (BE). 2°) En utilisant le repère   A, AF, AD    , démontrer que s existe et est unique. 6 Dans l’espace orienté, on considère un carré ABCD de centre O. On désigne par E le point défini par OA OB OE         . Soit f une isométrie laissant globalement invariant l’ensemble {A, B, C, D, E}. 1°) a) Démontrer que les images par toute isométrie des points A, B, C, D sont coplanaires. En déduire que l’ensemble {A, B, C, D} est globalement invariant par f et démontrer que E est invariant. b) Démontrer que O est invariant par f. 2°) Si f est une rotation, quel est son axe ? En déduire toutes les rotations laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant. 3°) Démontrer que, si f est une réflexion, son plan contient la droite (OE). En déduire toutes les réflexions laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant. 7 Soit ABCD un tétraèdre régulier, G son isobarycentre et H l’isobarycentre du triangle ABD. On note I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AD], [BC], [AC] et [BD]. 1°) a) Démontrer que les droites (IJ) et (KL) se coupent en G. b) Démontrer que la droite (CG) coupe le plan (ABD) en H. c) Placer sur une figure les données précédentes. 2°) Soit 1 s la réflexion par rapport au plan (BIC) et 2 s la réflexion par rapport au plan (ALC). On pose 2 1 o r s s  . a) Démontrer que le plan (BIC) est le plan médiateur du segment [AD] ; en déduire les images de A et D par 1 s . Déterminer de même les images de B et D par 2 s . b) Déterminer les images des points A, B, C, D et G par r. c) Démontrer que r est une rotation dont on déterminera l’axe et l’angle. 8 Soit E un espace affine. Soit G un ensemble fini d’applications affines de E tel que (G, o) soit un groupe. Démontrer qu’il existe un point fixe commun à toutes les applications affines de G. Indication : Soit A un point fixé de E. Considérer l’isobarycentre de l’ensemble    A , G f f  . 9 Soit E un espace affine. Déterminer les applications affines f de E telles que pour toute translation t de E on ait o o f t t f  . 10 Soit O et O’ deux points quelconques d’un espace affine E et k et k’ deux réels quelconques non nuls. Déterminer     O, O', ' h o h k k . 11 Soit ABC un triangle direct du plan euclidien orienté. A l’extérieur du triangle, on construit les triangles ABB’ et ACC’ isocèles rectangles en A. Soit I le milieu de [BC]. Démontrer que     AI B'C'  et que 1 AI B'C' 2  . Indication : On pourra considérer la rotation A, 2 r R         . 12 Soit ABCD un rectangle du plan euclidien P. Démontrer que l’application : f P  est constante. 2 2 2 2 M MA MB MC MD     13 Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3. Soit O, A, B, C, A’, B’, C’ sept points de E tels que les familles B   OA, OB, OC      et B ’   OA', OB', OC'       soient des bases orthonormées directes de E   . Démontrer que les vecteurs AA'    , BB'   , CC'  sont coplanaires. 14 Soit ABCD un quadrilatère convexe. On note O le point d’intersection des diagonales (AC) et (BD). La parallèle à (BC) passant par A coupe (BD) en I ; la parallèle à (AD) passant par B coupe (AC) en J. Le but de l’exercice est de démontrer que les droites (IJ) et (CD) sont parallèles. On note f et g les homothéties de centre O qui transforment respectivement A en C et B en D. 1°) Quelle est l’image de I par f ? par g o f ? 2°) Quelles est l’image de J par g ? par f o g ? 3°) Expliquer pourquoi f o g = g o f ; on note h l’homothétie f o g. Quelle est l’image de (IJ) par h ? Conclure. 15 Soit A, B, C trois points quelconques non alignés d’un plan affine réel. Soit , ,  trois réels tels que 0  , 0  , 0  . On note A’ le barycentre des points pondérés   B,  et   C, , B’ le barycentre des points pondérés   A,  et   C, , C’ le barycentre des points pondérés   A,  et   B, . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur , ,  pour que les droites (AA’), (BB’), (CC’) soient parallèles. 16 Soit ABC un triangle d’un plan affine réel. Soit , ,  trois réels tels que 1 0  . Soit f l’application de P dans P qui à tout point M de P associe le point M’, barycentre des points A, B, C, M affectés respectivement des coefficients , , , 1. Déterminer la nature de f. 17 On identifie  aux points du plan complexe. Soit P un polynôme scindé à coefficients complexes de degré n  2. On note 1 z , 2 z … n z les racines de P. 1°) Donner la décomposition en éléments simples de ' P P . 2°) Démontrer que toute racine de P’ est barycentre de celles de P à coefficients strictement positifs. 3°) En déduire que si toutes les racines de P sont réelles, alors toutes les racines de P’ sont réelles. 18 L'objet de l'exercice est d'étudier des relations entre d'une part des propriétés de configurations planes et d'autre part des égalités dans le groupe des isométries du plan. 1°) Interpréter géométriquement l'égalité SA o SB o SC o SD uploads/Ingenierie_Lourd/ ex-sur-la-geometrie-affine.pdf