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J.M -Devoir Libre N0 3- 1Bac-SCi-2022 Exercice 1. . On consid` ere dans un plan

J.M -Devoir Libre N0 3- 1Bac-SCi-2022 Exercice 1. . On consid` ere dans un plan (P) rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O, − → i , − → j ), les poits A(1, −1), B(−1, 1, ), C( √ 3, √ 3), et D(1, 0). 1)a) Calculer les distance AB et AC, puis − → AB.− → AC. b) Calculer : cos ( \ − → AB, − → AC) et sin ( \ − → AB, − → AC). c) En d´ eduire la nature du triangle ABC. 2) a) Montrer que l’´ equation y = −x est une ´ equation cart´ esienne de la droite (AB). b) Calculer la distance d(C, (AB)) entre le point C et la droite (AB). c) En d´ eduire la surface du triangle ABC. Exercice 2. . Soit le plan (P) associ´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O, − → i , − → j ). Soient A(−3, 0) et B(0, 3) deux points du plan (P) et N un point du plan (P) d’abcisse α qui varie sur la droite passante par le point C(−1, 0) et dirig´ ee par le vecteur − → AB. 1)a) D´ eterminer en fonction du nombre α l’ordonn´ ee du point N. b) D´ eterminer une ´ equation cart´ esi` enne de la droite (AB). c) V´ eriﬁer que d(N, (AB)) est costante (ind´ ependante du nombre α). d) En d´ eduire que la surface du triangle ABN est constante et d´ eterminer sa valeur. 2) D´ eterminer les valeurs de α pour les quelles le triangle ABN soit rectangle en N. 3) D´ eterminer N pour que : ( \ − → AN, − → AB) ≡π 6 [2π]. Exercice 3. . On consid` ere dans le plan (P) associ´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O, − → i , − → j ), les points A(−1, 2), B(0, −1) et C(−2, 0), et soit (C) l’ensemble des points M(x, y) qui v´ eriﬁent x2 + y2 −2x −2y −3 = 0. 1) Montrer que l’ensemble (C) est un cercle de rayon r = √ 5 et de centre ` a d´ eterminer. 2) D´ eterminer la position relative des points A, B et C par rapport au cercle (C). 3) D´ eterminer l’´ equation cart´ esienne de la tangente (D) au cercle (C) au point A. 4) a) Calculer − → CA.− → CB et en d´ eduire la nature du triangle ABC. b) D´ eterminer l’´ equation cart´ esienne du cercle (C′) circonscrit au triangle ABC. 5) D´ eterminer l’intersection du cercle (C′) et la droite (D′) d’´ equation cart´ esienne : x −3y −3 = 0. 6) D´ eterminer graphiquement la solution du syst` eme suivant : x2 + y2 −2x −2y −3 ≤0 x2 + y2 + x −y −2 ≤0, Exercice 4. . Le plan (P) est associ´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e R = (O; − → i ; − → j ). On consid` ere le cercle (C) de centre Ω(1; −1) et de rayon R = 2. 1) Donner une ´ equation cart´ esienne du cercle (C). 2) V´ eriﬁer que le point A(2; √ 3 −1) appartient au cercle (C). 3) D´ eterminer les ´ equations des deux tangentes au cercle (C) passantes par A. 4) On consid` ere le point B(3; 5). a) V´ eriﬁer que le point B est ext´ erieure au cercle (C). b) D´ eterminer les deux tangentes au cercle (C) passantes par le point B. c) Construire une ﬁgure. 5) D´ eterminer les ´ equations des deux tangentes au cercle (C) et sont dirig´ ees par le vecteur − → u (−2; 1). 6) D´ eterminer les positions relatives des deux cercles (C) et (C′) de centre Ω′(−2; 1) et de rayon R′ = 3. 7) R´ esoudre graphiquement le syst` eme : (x2 + y2 −2x + 2y −2)(x + y + 1) < 0. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-libre-3-1bac-sci-2022.pdf