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UFR de Sciences Physiques et Ingénierie Correction rapide de l’Examen d’Electro

UFR de Sciences Physiques et Ingénierie Correction rapide de l’Examen d’Electromagnétisme – L2 Physique et Applications et Ingénierie (Session de janvier 2010, durée 2 heures) Pas de calculatrices et pas de documents Exercice 1 (9 pts) On considère un plan uniformément chargé en surface d’une densité de charge électrique σ. 1. Enoncer le théorème de Gauss et expliquer les différents termes. Avant d’utiliser ce théorème, analyser la direction et le module du champ électrostatique du plan uniformément chargé. Représenter schématiquement la surface de Gauss et le champ de part et d’autre de ce plan. Rép : Le plan possède une symétrie par translation de la charge électrique et un plan de symétrie confondu avec le plan des charges électrique. Ce qui fait que le champ électrique est perpendiculaire au plan des charges et est constant en module (voir figure). Théorème de Gauss : Î et et Surface de Gauss Vue en perspective Vue de coté 1 2 L S A A A EdS EdS EdS EdS = + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ G G G G G G G G w 0 int S Q EdS ε = ∫∫ G G w 1 2 2 1 2 2 car L S A A EdS EdS EdS E R E A A et E A π = + = ⊥ ∫∫ ∫∫ ∫∫ G G G G G G G & & w 2 int Q R π σ = UFR de Sciences Physiques et Ingénierie 2. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques créés en tout point de l’espace par cette distribution de charges électriques en vous servant du théorème de Gauss. Rép : De la question 1 on peut facilement déduire que Le potentiel en un point M est On pose Vo=0 sur tout point appatenant au plan, d’où VM = -σx/(2ε0), où x est la distance du plan au point M. 3. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques créés en tout point de l’espace par une distribution volumique de charges, uniforme, de densité située entre deux plans parallèles distants de 2e. Retrouver le cas d’un plan infini dans le cas limite où . Rép : On utilise un cylindre de Gauss pour représenter la surface de Gauss de rayon r et de hauteur 2x. cylindre de Gauss E e x plan plan r Qint=ρπr2(2x) 0 2 E σ ε = d M M O O V V E. l − = −∫ G G UFR de Sciences Physiques et Ingénierie L’origine de l’axe des x se trouve sur le plan de symétrie des deux plans parallèle (voir figure). L’utilisation du théorème de Gauss conduit à E= ρx/ε0 entre les plans et à E= ρe /ε0= constante à l’extérieur. Le potentiel électrique est : V=- ρx2/(2ε0) à l’intérieur et V = =- ρex/(ε0)+ ρe2/(2ε0) à l’extérieur (obtenu par continuité entre l’intérieur et l’extérieur). On obtient le cas d’un plan infini en posant σ=2ρe. 4. Soit un disque de rayon R d’épaisseur négligeable portant une densité σ surfacique de charges, uniforme. Calculer (sans utiliser le théorème de Gauss) le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l’axe du disque. En déduire le champ électrique d’un plan infini uniformément chargé de la question 2. Rép : D’après la figure 2 2 3/ 2 0 1 (2 ) 4 ( ) z r dr dE r h π σ πε = ⋅ + (c’est la projection du champ électrique de l’anneau de largeur dr). Le champ électrique total s’obtient en intégrant ce champ de 0 à R : M dr r θ dE o h dEz UFR de Sciences Physiques et Ingénierie 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 0 0 0 0 0 1 (2 ) 1 1 4 ( ) 2 ( ) 2 ( ) R R z r hdr h h E r h r h R h π σ σ σ πε ε ε ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = ⋅ = − = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + + + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ Dans la limite où R tend vers l’infini on obtient bien le champ électrique d’un plan infini : Le potentiel électrique du disque est donné par : 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 h h z h V M E dh dh h R h R h σ σ σ ε ε ε ⎛ ⎞ = − = − − = − + + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∫ ∫ Exercice 2 (6 pts) Deux fils rectilignes infinis, séparés par une distance d, portent respectivement une densité linéique uniforme de charges, λ1 et λ2. Le but de cet exercice est de déterminer à quelle distance des deux fils le champ électrique total s’annule en fonction de d, λ1 et λ2. 1. On considère seulement le premier fil. Préciser le sens du champ électrostatique et de quelle variable d'espace dépend son intensité. En appliquant le théorème de Gauss, dont on précisera bien toutes les étapes, calculer le champ 1( ) E M G créé par le fil en un point quelconque M. Déterminer à partir de cette expression le potentiel V1(M). Rép : Le fil reste invariant si on le tourne autour de lui-même. On peut facile comprendre que le champ à une symétrie radiale (voir cours). On utilise un cylindre de Gauss de rayon x et d’hauteur h, dont l’axe est confondu avec le fil rectiligne. En utilisant le théorème de Gauss on peut montrer facilement que 1 1 0 1 2 E x λ πε = ⋅ (voir cours) Comme à l’exercice précédent, on peut déterminer le potentiel en intégrant le champ électrique (on suppose que le point M est situé à une distance x du fil) : ( ) 1 1 1 0 0 ( ) ( ) (| |) 2 2 x x a a dr V M E dr Ln a Ln x r λ λ πε πε = − = − = − ∫ ∫ On choisi le point a pour que le potentiel soit nul en ce point (c’est le choix le plus simple). Pour annuler le Logarithme il faut que a=1. Par conséquent, le potentiel à une distance x du fil électrique est donné par : 1 0 ( ) ( ) 2 V x Ln x λ πε = − 2. Utiliser la question précédente pour exprimer le champ 2( ) E M G et le potentiel V2(M) électrostatiques créés par le second fil (pris isolément) au même point M. Réaliser un schéma indiquant le sens des champs 1( ) E M G et 2( ) E M G en fonction des signes de λ1 et λ2. 0 2 E σ ε = UFR de Sciences Physiques et Ingénierie Rép : Le point M est situé à une distance d-x du deuxième fil. Le champ électrique est donné par : 2 2 0 1 2 | | E d x λ πε = ⋅ − et le potentiel électrique par : 1 1 2 0 0 ( ) (| |) ( 1) 2 2 V M Ln d x Ln d λ λ πε πε = − − + − On a ajouté une constante au second membre pour que le potentiel soit nul pour x=1. Schéma (on suppose |λ1| > |λ2|) : 3. Déterminer à quel rayon r0 du premier fil, le champ électrique total s'annule en M0, en fonction de d, λ1 et λ2. Déterminer également le potentiel électrique total en ce point. Rép : On va se limiter seulement au cas A, les autres cas sont similaires. 2 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 2 | | 2 | | d E E x d x x λ λ λ πε πε λ λ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = − + M λ1>0 λ2>0 E1 E2 M λ1<0 λ2<0 E1 E2 M λ1>0 λ2<0 E1 E2 M λ1<0 λ2>0 E1 E2 A B C D M λ1>0 λ2>0 E1 E2 UFR de Sciences Physiques et Ingénierie 4. Représenter schématiquement et séparément le champ électrique total et le potentiel électrique en tout point de l’espace pour λ1 et λ2 positives. Schéma à main levée du champ électrique et du potentiel dans le cas A (voir plus haut) : Exercice 3 (5 pts) Deux longs conducteurs parallèles a et b écartés d’une distance d sont parcourus par des courants d’intensités Ia et Ib constantes. 1. En utilisant le théorème d’Ampère, montrer que le conducteur a produit un champ magnétique Ba à l’emplacement du conducteur b, et que ce champ est donné par : 0 2 a a I B d μ π = En utilisant la règle de la main droite, représenter la direction et le sens de ce champ magnétique sur un schéma. λ1>0 λ2>0 λ1>0 λ2>0 Champ électrique Potentiel électrique x λ1>0 λ2>0 λ1>0 λ2>0 x UFR uploads/Ingenierie_Lourd/ janvier-10correction.pdf