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Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière PSI • On veillera à une prése

Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière PSI • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordes. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justiﬁées. • Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Spectroscopie visible Les électrons d’un atome occupent des orbites bien déterminées caractérisées par des énergies caractéristiques et discontinues. Lorsqu’un électron passe d’une orbite à une autre plus proche du noyau il y’ a émission de rayonnements, donc de photons, de fréquence bien déterminée. La spectro- scopie étudie les raies d’émission d’une matière donnée; elle utilise des systèmes dispersifs comme les réseaux et les prismes. Les prismes sont faits à l’aide de milieux matériels dispersifs dont l’indice de réfraction n(λ) dépend de la longueur d’onde du rayonnement qui les traverse. Donnes : -Masse de l’électron m = 9, 1.10−31kg. -Charge de l’électron q = −e = −1, 6.10−19C. - Nombre d’Avogadro NA = 6, 02.1023 -Vitesse de la lumière : c = 3.108m.s−1. - Permittivité diélectrique du vide ε0 = 8, 854 × 10−12F.m−1. -Constante de Planck : h = 6.62.10−34J.s - A une grandeur sinusoïdale f (t) = F0.cos(ωt + ϕ), on associe le complexe souligné f (t) = F0.ei.(ωt+ϕ), avec i2 = −1 et tel que f (t) = Re( f (t)); le conjugué de f sera noté f ∗. - Formule d’analyse vectorielle pour un vecteur − → V : − → rot(− → rot− → V ) = − − → grad(div− → V ) - ∆− → V . I Raies spectrales de l’hydrogène On se propose d’interpréter le spectre de rayonnements discret émis par les atomes en général, mais pour simpliﬁer on étudiera celui de l’atome d’hydrogène. On suppose que c’est un système isolé formé d’un proton (noyau) et d’un électron; la masse du proton est mp = 1836.m. I.1. Modèle classique de Rutherford pour l’atome d’hydrogène. Dans le référentiel galiléen R(OXYZ) centré sur le proton, ﬁxe au point O, on repère le mouvement de l’électron par − − → OM = r− → u r dans la base de travail cylindrique − → u r, − → u θ, − → u z . Il est soumis à la force électrique − → F = − e2 4πε0.r2.− → u r ; on posera k = e2 4πε0, de valeur numérique k = 2, 30.10−28SI. I.1.1. Montrer que la trajectoire de l’électron est plane. I.1.2. On suppose que la trajectoire de l’électron autour du noyau est circulaire de rayon r. Exprimer les vecteurs : vitesse − → v , accélération − → a et moment cinétique en O − → L O. I.1.3. Déterminer l’énergie potentielle Ep(r), on prendra Ep(r →∞) = 0. Épreuve de Physique II 1 / 7 Tournez la page SVP Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière PSI X Y O : noyau M : e− − → r − → u r − → u θ θ Figure 1 – L’atome d’hydrogène I.1.4. Donner l’expression de l’énergie mécanique E(r) en fonction de k et r. I.2. Insufﬁsances du modèle classique de l’atome d’hydrogène. L’électromagnétisme classique, prévoit que l’électron d’accélération − → a rayonne, et perd, de l’éner- gie; il devrait, alors, tomber sur le noyau au bout d’une durée τ. I.2.1. Donner l’expression du dipôle électrique − → p constitué par l’électron et le proton. I.2.2. Montrer que ce système est équivalent à deux dipôles − → p 1 = p1(t).− → u x et − → p 2 = p2(t).− → u y. On donne p1(t) = p0.cos(ω.t), déterminer les expressions de p0 et de p2(t). La base carté- sienne est notée − → u x, − → u y, − → u z . En un point M du plan XOY, tel que OM = r′ ≫r le dipôle − → p 1 crée une onde supposée localement plane, de champ électrique − → E 1(M, t) et de champ magnétique − → B 1(M, t). I.2.3. Situer, simplement, les vecteurs − → E 1(M, t) et − → B 1(M, t) par rapport à ce plan XOY. I.2.4. Situer également le vecteur de Poynting − → π 1(M, t). La puissance moyenne rayonnée par l’électron est de la forme : Pr = 2 3. e2 4πε0c3.− → a 2, donc l’énergie diminue ainsi que le rayon r. On donne m k = 3, 95.10−3SI. I.2.5. Exprimer, puis déterminer la "durée de vie" tau de l’atome d’hydrogène, sachant que le rayon initial est r = 53, 3pm. Commenter. I.3. Modèle semi-quantique de Bohr (1885-1962, Nobelisé en 1922) Expérimentalement on avait établi qu’un atome excité, était capable de rayonner une onde élec- tromagnétique. Pour l’atome d’hydrogène, les longueurs d’onde λpq caractéristiques de ces rayonnements vériﬁent la loi expérimentale de Balmer-Rydberg : 1 λqp = RH.( 1 p2 −1 q2) où p et q sont des entiers non nuls (p < q) et RH est la constante de Rydberg. . On souhaite retrouver théoriquement ce résultat pour l’atome d’hydrogène. En tenant compte de résultats connus en 1913, Bohr a introduit deux hypothèses : - La relation entre l’énergie E et la fréquence νqp du rayonnement émis : E = Eq −Ep = h.νqp. - Le moment cinétique est quantiﬁé : LO = n.¯ h, où n ∈N∗et ¯ h = h 2π = 1, 05.10−34SI. Épreuve de Physique II 2 / 7 Tournez la page SVP Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière PSI I.3.1. D’après la relation de quantiﬁcation déterminer le rayon rn de l’orbite circulaire de l’élec- tron en fonction de m , k, ¯ h et n. I.3.2. Calculer le rayon de Bohr de l’atome H dans son état fondamental : r1. I.3.3. Déterminer l’expression de l’énergie En(rn) en fonction de E0 et n; on donnera l’expression et l’unité de la constante E0. I.3.4. En déduire l’interprétation de la loi expérimentale de Balmer-Rydberg, et donner l’expres- sion de la constante de Rydberg RH en fonction de m, e, c, ε0 et h. I.3.5. Déterminer en eV l’énergie d’ionisation de l’atome H. I.3.6. On généralise la dualité onde-corpuscule à l’électron, et on lui associe une longueur d’onde λ. Ainsi d’après de De Broglie , la quantité de mouvement de l’électron est : pe = h λ. Montrer qu’alors 2π.rn = n.λ, n ∈N∗. Interpréter cette relation en terme d’onde. I.3.7. Dans cette question on tient compte du mouvement du noyau atomique. I.3.7.1. Déteminer R′ H la nouvelle expression de la constante de Rydberg si l’on tient compte de la mobilité du noyau. Le deutérium, noté D, de masse mD est un isotope de l’hydrogène H, et leur spectres sont décalés. Soient λH et λD les longueurs d’onde des photons émis, respectivement, par l’hydrogène et par le deutérium, dans une transition entre deux niveaux d’énergie caractérisés par les mêmes nombres p et q. I.3.7.2. Calculer le rapport mp mD en fonction de λH −λD λH et mp m , mD ≫m. I.3.7.3. En déduire la charge et la masse de l’autre particule que contient le noyau du deuté- rium. Application numérique : λH = 656.11nm et λD = 655, 93nm. I.3.7.4. Comment pourrait-on déterminer l’abondance relative du deutérium par rapport à l’hydrogène. II Étude d’un spectre de raies à l’aide d’un réseau On considère le montage optique formé d’une source ponctuelle S, d’un réseau de diffraction par transmission, de deux lentilles L1 et L2 convergentes et d’un écran. Il illustre le principe de diffraction à l’inﬁni, sous une direction θ, d’une onde plane de longueur d’onde λ arrivant sous une incidence i = 0 sur un réseau; ce dernier est un diaphragme comportant N fentes très ﬁnes Sk,k=1,2,..,N espacées d’un pas a = SiSi+1 : voir ﬁgure 2. On étudie l’intensité diffractée I(y) en tout point M(y) d’un écran placé dans le plan focal image de la lentille L2. II.1. Rappeler le principe de diffraction de Huyghens-Fresnel II.2. Recopier la ﬁgure 2 et tracer les deux rayons issus de S et arrivant sur les fentes S0 et S1 ; puis les compléter par deux rayons diffractés par S0 et S1 et aboutissant au point M. II.3. Déterminer, avec justiﬁcation, la différence de marche optique δ(M) entre deux diffractés pa- rallèles par deux fentes successives, dans la direction θ vers l’inﬁni. II.4. Que peut on dire de l’intensité en M dans le cas où δ(θ) = n.λ, avec n ∈Z ? II.5. Donner les directions θmax,n correspondant aux maximas d’intensité. La source S est une lampe spectrale à hydrogène. On considère les raies correspondant aux transi- tions d’électron de l’atome d’hydrogène qui mettent en uploads/Ingenierie_Lourd/ e-ph2psi2018.pdf