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Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 1 sur 2 PREPAVOGT B.P. : 765 Yaoun

Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 1 sur 2 PREPAVOGT B.P. : 765 Yaoundé Tél. : 22 01 63 72 / 96 16 46 86 Yaoundé, le 21 Juillet 2015 E-mail. : prepavogt@yahoo.fr www.prepavogt.org CYCLE INGENIEUR CONCOURS D’ADMISSION SERIE D, E, F, GCE/AL EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES EXERCICE 1 : (6 POINTS) 1) On considère l’équation complexe (E) : . 1) a) Déterminer une solution z0 de (E) telle que . 0,75pt 1) b) Trouver les autres solutions z1 et z2 de (E) où z1 a une partie réelle négative. 1,00pt 2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct . Les points A, B et D ont pour affixes respectives , et 4 . 2) a) Placer les points A, B et D. 0,75pt 2) b) Montrer que le triangle ABD est équilatéral. 1,00pt 2) c) Déterminer les coordonnées du centre K et le rayon R du cercle circonscrit au triangle ABD. 1,00pt 2) d) Soit ψ la transformation du plan qui à tout point M (z) associe le point M’ (z’) tel que et ψ (A) = B. Déterminer la nature et les caractéristiques de ψ. 1,50pt EXERCICE 2 (5 POINTS) : Les trois questions sont indépendantes. 1) Déterminer la fonction f définie dans qui est solution de l’équation différentielle 4y’’ + 4y’ + y = 0 vérifiant f(0) = 2 et f’(0) = 0. 1,00pt 2) La fonction est définie sur par (x) = sin x – sin3x. On note respectivement ’ et ’’ les dérivées premières et seconde de . 2) a) Déterminer ’(x) et ’’(x). 1,00pt 2) c) Vérifier que . 0,25pt 2) d) Déduire une primitive G de sur . 0,50pt grandprof.org Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 2 sur 2 3) ( ( sont deux suites numériques. On admet que ( est une suite géométrique de premier terme , de raison et telle que : ( . On pose et .. 3) a) Déterminer en fonction de l’expression de . 0,50pt 3) b) Exprimer en fonction de puis étudier la convergence de la suite ( . 0,75pt 3) c) Calculer en fonction de la somme . 1,00pt PROBLEME (10 POINTS) : On donne deux fonctions définies sur l’ensemble par : . On désigne par la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) où l’unité sur les axes est de 2cm. 1) Etude de la variation de . 1) a) Calculer les limites de en 0 et en . 0,50pt 1) b) Calculer la dérivée de et dresser son tableau de variation. 1,00pt 1) c) Démontrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle . 0,75pt 1) d) Déterminer le signe de . 0,50pt 2) Etude de la variation de et construction de la courbe . 2) a) Calculer les limites de en 0 et en . 0,50pt 2) b) En déduire les asymptotes de la courbe de . 0,50pt 2) c) Démontrer que la dérivée . 0,75pt 2) d) Donner le sens de variation de et dresser le tableau de variation. 1,00pt 2) e) Démontrer que et donner un encadrement de par deux fractions rationnelles. 1,00pt 2) f) On note le point A intersection de avec l’axe des abscisses, déterminer une équation cartésienne de la droite (D) tangente à en A. 1,00pt 2) g) Tracer la droite (D) et la courbe . 1,50pt Fin de l’épreuve grandprof.org uploads/Ingenierie_Lourd/ epreuve-maths-cycle-ingenieur-serie-d-prepavogt-juillet-2015.pdf