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Ce cours a été rédigé à l’intention des élèves de 1ère année du cycle d’ingénie

Ce cours a été rédigé à l’intention des élèves de 1ère année du cycle d’ingénieur de l’École Centrale de Pékin. Il leur est présenté immédiatement après celui de Mécanique des Milieux Continus, dispensé par Jean Garrigues, dont il s’inspire très largement, tant dans ses notions – telle celle de tenseur – que dans ses méthodes – telle celle, thermodynamique, permettant d’établir les équations constitutives de la thermo-élasticité linéaire. Les cours de Jean Garrigues sont librement accessibles à l’adresse suivante : http://jean.garrigues.perso.ec-marseille.fr/ Par ailleurs, Jean Garrigues est l’auteur de : Fondements de la mécanique des milieux continus (Editions Hermes ; ISBN : 978-2-7462-1607-5) Élasticité linéaire Thierry Désoyer, thierry.desoyer@centrale-marseille.fr 4 novembre 2009 cel-00429788, version 1 - 4 Nov 2009 2 ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN cel-00429788, version 1 - 4 Nov 2009 Avant - propos Le but de ce cours est : – de présenter les hypothèses et la démarche méthodologique qui mènent à l’écriture des équations consti- tutives de la thermo-élasticité linéaire isotrope, c’est-à-dire un modèle de comportement thermo mé- canique particulier 1 des matériaux en phase solide. La démarche est essentiellement celle de la Ther- modynamique des Milieux Continus, associée, en l’occurence, à deux hypothèses essentielles : celle, thermodynamique, de nullité de la puissance mécaniquement dissipée 2 , et celle, cinématique, des déformations inﬁnitésimales. On montre comment cette démarche permet d’établir rigoureusement les équations constitutives en tant que conditions sufﬁsantes, voire nécessaires et sufﬁsantes, à la vériﬁcation systématique du second principe de la Thermodynamique. Les approximations usuelles de ces équations constitutives – liées à une approximation, usuelle elle aussi, sur la masse volumique – sont également présentées. – de précisément déﬁnir l’ensemble des inconnues, des données et des équations déﬁnissant un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope, ces dernières incluant les équations constitutives précé- demment établies, dans leurs approximations usuelles. Il est toutefois à noter que le propos est restreint aux structures homogènes, c’est-à-dire constituées d’un et un seul matériau thermo-élastique linéaire isotrope. – de précisément déﬁnir l’ensemble des inconnues, des données et des équations déﬁnissant un problème de structure homogène, élastique linéaire isotrope, celui-ci étant simplement vu comme un cas particulier du précédent où tous les aspects thermiques sont négligés. Les deux méthodes classiques de résolution analytique d’un tel problème sont également présentées : la méthode des déplacements (ou méthode de Navier) et la méthode des contraintes (ou méthode de Beltrami). – de détailler deux exemples utiles d’application des méthodes de résolution analytique précédemment déﬁnies. Le premier, traité par la méthode des contraintes, est celui de la traction-compression simple d’une barre cylindrique homogène ; le second, traité par la méthode des déplacements, celui de la tor- sion d’une barre cylindrique homogène. Il est à noter que, dans les deux cas, le domaine de validité de la solution est précisé, d’une part, par rapport à l’hypothèse de comportement élastique, d’autre part, par rapport à l’hypothèse des déformations inﬁnitésimales. Les deux premiers points ci-dessus font l’objet du Chapitre 1. Le troisième point fait l’objet du Chapitre 2 ; le quatrième, celui du Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, quelques indications sont données sur la façon d’aborder des problèmes sortant du cadre déﬁni aux Chapitres 1 et 2, à savoir : – des problèmes de structures hétérogènes, élastiques linéaires isotropes, – des problèmes de structures homogènes, élastiques linéaires anisotropes, – des problèmes de structures homogènes, élastiques non linéaires isotropes, – des problèmes de structures homogènes, non élastiques isotropes. 1 En l’occurence, il s’agit du modèle de comportement thermo-mécanique le plus simple que l’on puisse envisager. Il fait inter- venir le strict minimum de variables d’état pour pour un matériau en phase solide, à savoir la température aboslue et le tenseur des déformations inﬁnitésimales ; et, moyennant certaines approximations, ses équations constitutives sont linéaires. 2 Cette hypothèse est en fait la déﬁnition la plus générale que l’on puisse donner du comportement élastique. ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN 3 cel-00429788, version 1 - 4 Nov 2009 4 ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN cel-00429788, version 1 - 4 Nov 2009 Chapitre 1 Équations générales de la thermo-élasticité linéaire isotrope 1.1 Problème de structure en thermo-élasticité linéaire isotrope : hy- pothèses et énoncé qualitatif En Génie Mécanique ou en Génie Civil, un ingénieur spécialisé en Mécanique des solides a très souvent à résoudre des problèmes de structures. Pour ce faire, un ingénieur, en première approximation fait très souvent l’hypothèse suivante : Hypothèse H1 : le comportement du matériau constitutif de la structure est thermo-élastique L’hypothèse H1 d’un comportement thermo-élastique a pour conséquence que deux variables d’état doivent être obligatoirement considérées, à savoir : la température absolue : T > 0 (enK) un tenseur de déformations : Y Y Y ∈ ¡ R3 ×R3¢ s (adimensionnel) (1-1) Par la suite, le tenseur de déformations considéré sera celui de Green-Lagrange, soit (voir le cours de Mécanique des milieux continus) : Y Y Y = sym(gradLU U U) + 1 2 ¡ gradT LU U U ¢ . . . (gradLU U U) (1-2) où gradL désigne le gradient lagrangien. En première approximation, un ingénieur a donc à résoudre des problèmes de structures thermo-élastiques. Qualitativement, tous ces problèmes s’énoncent de la même façon, à savoir : Soit une structure, c’est-à-dire un domaine matériel solide D occupant, à l’instant générique t, un volume Vt, limité par une surface St. Sachant que, dans un intervalle de temps [t0,t1], cette structure est soumise à : – des sollicitations mécaniques, c’est-à-dire : – des forces volumiques, agissant dans Vt, – et/ou des forces surfaciques, agissant sur St ou une partie de St, – et/ou des déplacements, agissant sur St ou une partie de St, – des sollicitations thermiques, c’est-à-dire : – des sources de chaleur volumiques, agissant dans Vt, – et/ou des sources de chaleur surfaciques, agissant sur St ou une partie de St, ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN 5 cel-00429788, version 1 - 4 Nov 2009 1. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA THERMO-ÉLASTICITÉ LINÉAIRE ISOTROPE – et/ou des températures, agissant sur St ou une partie de St, connaissant, de plus, les conditions initiales, trouver, ∀t ∈[t0,t1] : – les champs mécaniques dans Vt : champs de déplacements et de déformations, champ de contraintes ; – les champs thermiques dans Vt : champ de température, champs d’entropie massique et de densité de ﬂux de chaleur. Un ingénieur peut également faire d’autres hypothèses qui simpliﬁent l’énoncé de tout problème de struc- ture thermo-élastique : – Hypothèse H2 : le matériau est thermiquement et mécaniquement isotrope. – Hypothèse H3 : les déformations et les variations relatives de température sont « petites » ou inﬁnitési- males, – Hypothèse H4 : la relation liant les contraintes aux déformations et à la température est linéaire ; la relation liant l’entropie massique aux déformations et à la température est linéaire. L’hypothèse H2 ne dépend que du matériau constitutif de la structure. Autrement dit, elle ne dépend ni de la géométrie de la structure, ni des sollicitations mécaniques et thermiques. Elle est valable pour de nom- breux matériaux mais pas pour tous. Par exemple, le bambou est un matériau mécaniquement anisotrope. L’hypothèse H2 d’un matériau thermiquement et mécaniquement isotrope a pour conséquence que : T etY Y Y sont les seules variables d’état à considérer. (1-3) Si le matériau est mécaniquement et/ou thermiquement anisotrope, il faut ajouter à T etY Y Y une ou plusieurs autres variables d’état, c’est-à-dire une ou plusieurs directions d’anisotropie. L’hypothèse H3 dépend du matériau constitutif de la structure et des sollicitations mécaniques et ther- miques. Elle est valable, par exemple, si le matériau est très rigide et bon conducteur de la chaleur et si les sollicitations sont « petites ». Elle n’est plus valable si les sollicitations sont « petites » mais le matériau peu rigide ou mauvais conducteur de la chaleur. L’hypothèse H3 se traduit par : (gradLU U U : : : gradLU U U)1/2 ≪1 ; |T −T0| T0 ≪1 (1-4) où U U U (en m) est le vecteur des déplacements et T0, la température initiale. Une conséquence immédiate de Eq. (1-4)-1 est qu’une approximation correcte du tenseur des déformations de Green-Lagrange, voir Eq. (1-2), est le tenseur des déformations inﬁnitésimales ε ε ε, c’est-à-dire : Y Y Y ≈ε ε ε = sym(gradLU U U) (1-5) Dans Eq. (1-5), l’opérateur liant U U U et ε ε ε est linéaire. Pour cette raison, le tenseur des déformations inﬁnité- simales ε ε ε est parfois appelé tenseur des déformations linéarisées. Il est généralement admis que l’hypothèse H4 est physiquement admissible quand l’hypothèse H3 est vériﬁée. La traduction mathématique de cette hypothèse s’écrit simplement en introduisant le tenseur des contraintes de Cauchy, σ σ σ (en N.m−2 ou Pa), et l’entropie massique, s (en J.kg−1) : le tenseur des contraintes de Cauchy σ σ σ dépend linéairement de T et de ε ε ε l’entropie massique s dépend linéairement de T et de ε ε ε (1-6) Associées à l’énoncé qualitatif du problème de structure thermo-élastique précédemment présenté, les hy- pothèses H2, H3 et H4 donnent l’énoncé qualitatif de tout problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Un uploads/Ingenierie_Lourd/ elasticite-lineaire.pdf