EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT DU TCHAD SÉRIE

EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT DU TCHAD SÉRIE C & E DE 1989 - 2022 Mathématiques au Bac Tchad Série C & E 2019 Énoncé Exercice 1 1. Soit a un élément de {2, 3, 4, 5} et n un entier naturel. a) Démontrer que, quelque soit a; a6 −1 ≡0[7]. b) Soit An le nombre défini par An = 2n + 3n + 4n + 5n. Démontrer que quelque soit n, An+6 ≡An[7]. 2. On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division de n par 6. a) Démontrer que An ≡Ar[7]. b) Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles An est divisible par 7. Exercice 2 Dans l’ensemble des nombres complexes C, on considère le polynôme P défini par : P(z) = z4 + (3 −i)z3 + (4 −3 i)z2 + (12 −4 i)z −12 i et l’équation (E) : z2 −2 √ 3z + 4 = 0. 1. a) Montrer que P(z) est divisible par (z −i)(z + 3). b) Factoriser P(z). En déduire les solutions de l’équation P(z) = 0 sous la forme trigonométrique. 2. a) Déterminer les nombres complexes α et β solutions de l’équation (E) avec Im(α) > 0. b) Écrire α et β sous forme trigonométrique. 3. On considère un dé bien équilibré à six faces et sur chaque face on inscrit l’un des nombres complexes : i; 2 i; −2 i; √ 3 + i; √ 3 −i et −3. On lance ce dé et on note z le nombre complexe qui apparaît sur sa face supérieure. Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 1 a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B suivants : A : « z est un réel »; B : « z est un imaginaire pur ». b) On lance 5 fois de suite ce même dé. Calculer la probabilité d’obtenir 4 fois la réalisation de l’évène- ment B. 4. On définit la variable aléatoire θ qui, au nombre complexe z inscrit sur une face, associe son argument principal. a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par θ. b) Déterminer la loi de probabilité de θ. c) Calculer son espérance mathématique E(θ). Problème Partie A On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f(x) = e x −1 e x + 1 et (C f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé  O, − → ı , − →   du plan. 1. a) Calculer la dérivée f ′(x) de f et dresser le tableau de variations de f. b) Étudier le signe de la dérivée seconde et en déduire la position relative de (C f ) par rapport à sa tangente (T0) en 0. c) Démontrer que l’origine O du repère est un point d’inflexion pour la courbe (C f ). 2. a) Montrer que f réalise une bijection de R vers un intervalle I de R que l’on précisera. b) Soit g la bijection réciproque de f et (Cg) sa courbe représentative. Montrer que pour tout x de I, g(x) = ln 1 + x x −1 . 3. Construire dans le même graphique les courbes (C f ) et (Cg). (On prendra 2 cm comme unité sur les axes des coordonnées). 4. Pour tout entier naturel n strictement positif, on définit la suite numérique (Un) par : Un = Z n−1 n 0 [ln(x + 1) −ln(1 −x)] dx . Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 2 a) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n non nul, Un = 2n −1 n  ln 2n −1 n  −ln n n . b) Calculer la limite de la suite (Un) et interpréter graphiquement le résultat. Partie B Soit S la symétrie orthogonale d’axe (∆) : y = x et T la translation de vecteur − → OA = 3− → ı + − → . On pose ϕ = T ◦S. 1. Donner la nature de l’application ϕ. 2. Construire l’image par ϕ de la courbe (C f ). 3. On considère : — Les vecteurs : − → e1 = − → ı + − →  et − → e2 = − → ı −− →  — La droite (∆′) : x −y −1 = 0. — Et S′ la symétrie orthogonale d’axe (∆′). a) Vérifier que le triplet  O, − → e1 , − → e2  forme un repère orthogonal du plan. b) Montrer que dans la base − → e1 , − → e2  , le vecteur − → OA se décompose de façon unique sous la forme − → OA = − → V1 + − → V2 où − → V1 et − → V2 sont des vecteurs colinéaires à − → e1 et à − → e2 que l’on précisera. c) On désigne par H et H’ les projetés orthogonaux respectifs de A sur (∆) et sur (∆′). Montrer que − → V2 = 2 − → HH′. En déduire que T = T1 ◦S′ ◦S où T1 est une translation dont on donnera le vecteur. d) Montrer que ϕ = T1 ◦S′. Partie C Le plan est muni d’un repère orthonormé. Soit (D) la droite d’équation x = 2. Les points M et F du plan (P) ont pour affixes z et 1 −i. 1. Exprimer en fonction de z, la distance de M à la droite (D). 2. On pose z + z −4 ̸= 0. Pour pour tout réel m strictement positif, (Γm) est l’ensemble des points M dont z est solution de l’équation (Em) suivante : |z −1 + i| = m|z + z −4| . a) Déterminer suivant les valeurs de m la nature de (Γm). b) Pour m = 1, donner les éléments caractéristiques de (Γm). Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ epreuve-10.pdf

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