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ALGÈBRE Antoine Chambert-Loir Antoine Chambert-Loir Université Paris-Diderot. E

ALGÈBRE Antoine Chambert-Loir Antoine Chambert-Loir Université Paris-Diderot. E-mail : Antoine.Chambert-Loir@math.univ-paris-diderot.fr Version du 11 décembre 2015, 19h56 La version la plus récente de ce texte devrait être accessible en ligne, à l’adresse http://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2015-16/ algebre/algebre.pdf ©2015, Antoine Chambert-Loir TABLE DES MATIÈRES 1. Structures algébriques — aperçu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Ensembles, relations, applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Magmas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Structures algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Catégories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Défnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Sous-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5. Produit d’une famille de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6. Opérations d’un groupe dans un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7. Sous-groupes distingués et groupes quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.8. Groupes et monoïdes libres, coproduits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9. Groupes abéliens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.10. Le groupe des permutations Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.11. Téorèmes de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.12. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3. Anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1. Défnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2. Sous-anneaux, sous-corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3. Morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5. Algèbres de monoïdes, de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 iv TABLE DES MATIÈRES 3.6. Idéaux, anneaux quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7. Anneaux de fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.8. Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.9. Idéaux premiers, idéaux maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.10. Le théorème des zéros de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.11. Anneaux euclidiens, principaux, factoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.12. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4. Corps. . . . . . . . . . . . . . uploads/Ingenierie_Lourd/ antoine-chambert-loir-algebre-lecture-notes-2015.pdf