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Lycée :Otman chatti M’saken DEVOIR DE SYNTHESE N°1 Année Scolaire : 2009-2010 P

Lycée :Otman chatti M’saken DEVOIR DE SYNTHESE N°1 Année Scolaire : 2009-2010 Prof : Salah mohsen Classe :4ième Sc :3 MATHEMATIQUES Durée : 3heures EXERCICE N°1 Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix 1)     2 ln 16e 2ln 8 e  est égale à : a) 1 2ln 2  b) 2 16lne 16ln e  c) 1 ln 2  . 2) la limite en de la fonction ( ) ln( ) 1 x f x x x   est a)  b) -1 c) 0 3) 2 2 1 d 1 x x x     est égale à : a) ln 2 ln1 2  b) ln5 ln 2 2  c) ln 2 ln5 2  EXERCICE N°2 L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i , j , k). On considère les points A ( 1, 0 , 2) ; B ( 0, 0 , 1) ; C ( O, 1 , m ) et E ( 0 , m-1 , 3 ) ou m est un paramètre réel 1) a/ Calculer les composantes de vecteur AB AC  b/ Montrer qu’une équation de plan (ABC) est Pm : -x + (m-1) y +z -1 = 0 2) a/ Montre que le volume de tétraèdre EABC est égal à 2 1 4 5 6 m m   b/ Déterminer la valeur de m pour la quelle le volume de tétraèdre EABC est minimal 3) Soit S la sphère e centre I ( 1 , 1 , 0) et de rayon 2 a/ Etudier, suivant les valeurs de m , la position relative de S et le plan (ABC) b/ Montrer que l’intersection de S et P3 est un cercle que l’on précisera EXERCICE N°3 La courbe (C) ci-dessous représente une fonction F définie et dérivable sur l’intervalle J =   1 2 ; +  . On sait que (C) coupe l’axe des abscisses au point (3 ; 0) et a une tangente horizontale au point (1 ; –2). On note f la fonction dérivée de F. 1) a/ A l’aide du graphique, donner les variations de F et en déduire le signe de f. b/Donner f(1), F(1) et F(3). Préciser le signe de f(3). c. Calculer    1 3f(x) dx . 2) Trois fonctions f1 , f2 et f3 sont définies sur l’intervalle J par : f1(x) = (x2 – x + 1) ; f2(x) = ln(2x – 1) et f3(x) = –1 + 1 2x – 1 Une de ces trois fonctions est la fonction f. a/ Etudier le signe de f1 sur l’intervalle J. (C) b/ Résoudre l’équation f2(x) = 0 sur l’intervalle J. c/ Calculer f3(1). d/ Calculer 3 3 1 ( ) x dx f . e/ En déduire la fonction f. EXERCICE N°4 Soit f la fonction définie par   2 ln 0 0 0 f x x x x si x f          La figure ci-dessous donne la courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère orthonormé  O, , i j . La courbe Cf coupe l’axe des abscisses en O et en B. La tangente au point A à la courbe Cf est parallèle à l’axe des abscisses 1) a/ Montrer que f est continue en 0 b/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 ; interpréter graphiquement le résultat c/ Déterminer l’abscisse du point B 2) a/ Montrer que pour tout x > 0 ; f ‘ (x) = 1 - ln x b/En déduire les coordonnées du point A c/ Dresser alors le tableau de variation de f sur + 0 , + ∞* 3) Soit g la restriction de f à l’intervalle * e , +∞ * , on désigne par Cf -1 sa courbe représentative a/ Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur ] -∞ , e + b/ Tracer la courbe Cf -1 dans le même repère 4)Soit le point C ( 0 , e² ) ; et A l’aire du domaine limité par les droites des coordonnés , l’arc (AB ) de la courbe Cf et l’arc (AC ) de la courbe Cf -1 a/ Hachurer A b/ A l’aide d’une intégration par parties calculer : I = ² lnd e e x x  c/ En déduire la valeur de A Annexe à rendre avec la copie Nom :…………………………………………. Classe :……………………… Prénom :………………………………………… uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-synthese-n01-2009-2010-salah-mohsen-pdf.pdf