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Lycee Alboury Ndiaye Année scolaire: 2007 / 2008 Linguère Classe : T S1 Mr Barr

Lycee Alboury Ndiaye Année scolaire: 2007 / 2008 Linguère Classe : T S1 Mr Barry Durée: 4 heures Devoir n°1 du deuxième semestre (Mathématiques) Exercice I Bac 90 (5 pts) 1) Soit la fonction numérique définie par :  t  ,  t t t 1 e te    . Etudier les variations de . En déduire le signe de  t  . (1 pt) 2) On définit la fonction numérique f par :   1 x x 1 e f 0 0 et x IR, f x      . a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. (1 pt) b) Etudier les variations de f. Montrer que la droite d’équation 1 1 2 2 y x  est asymptote à la courbe représentative de f (on pourra poser 1 x t  ) (2 pts) c) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, l’unité de longueur étant 4 cm. (On admettra que la courbe est au dessus de l’asymptote). Le calculatrice nous donne : (1 pt) x 0.5 1 2 ex 1.65 2.72 7.39 Exercice II Bac 93 (5 pts) Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O, i , j        , soit  la courbe d’équation : 13x2+ 13y2 +10xy – 72 =0. 1) Trouver l’équation de  dans le repère O,i', j'        déduit de O, i , j        par une rotation de centre O et d’angle 4 . (2 pts) 2) En déduire la nature de  et ses éléments caractéristiques. (3 pts) Exercice III Bac 94 (5 pts) Soit n un entier naturel non nul et soit q un nombre réel différent de 0, -1 et 1. On considère dans le plan complexe les n points A0, A1,….., An-1 d’affixes respectives z0, z1, …, zn-1. 1) Démontrer que le système de points pondérés     k k A ;q , 0 k n 1    admet un barycentre Gn. (1 pt) 2) On choisit les nombres complexes zk de la manière suivante : z0 = 1,  k 2 2 1 k 1 n n z cos isin et z z pour 1 k n 1        . a) Déterminer l’affixe Zn de Gn à l’aide de q et de z1. (1 pt) b) Préciser la partie reélle Xn et la partie imaginaire Yn de Zn. (1 pt) 3) a) Déterminer n pour que Zn soit réel. (0.5 pt) b) Calculer les limites de Xn et Yn lorsque n tend vers + . En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers +. (1.5 pt) Exercice IV Bac 04 (5 pts) On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous : H G 1) Soit L le centre du carré ABFE et J le milieu de [AL]. Soit la similitude directe f du plan (ABF) telle que f (A) = L et f(B) = J. a) Déterminer l’angle et le rapport de f. (1 pt) A B F E D C b) Construire E’ = f(E ). Montrer que f(F) est le milieu du segment [AB]. (0.5 pt) c) Soit le centre de la similitude f. Montrer que les points , A, L et E d’une part et les points , A, B et J d’autre part sont cocycliques. En déduire une construction de . (1 pt) d) Montrer que les droites (A) et (E) sont orthogonales. (0.5 pt) 2) On désigne par I le milieu du segment [FG]. a) Vérifier que CL IH IB         . En déduire l’aire du triangle IHB. (1 pt) b) Calculer le volume du tétraèdre BCIH et en déduire la distance du point C au plan (BIH). (1 pt) uploads/Ingenierie_Lourd/ 1e-devoir-ts1-second-semestre-07 11 .pdf