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Les vecteurs Cours Sommaire I Les vecteurs du plan A La translation B Les propr

Les vecteurs Cours Sommaire I Les vecteurs du plan A La translation B Les propriétés C Opérations sur les vecteurs II Les coordonnées cartésiennes dans le repère A Les coordonnées d'un point B Les coordonnées d'un vecteur III Les vecteurs colinéaires A Dé:nition B La caractérisation analytique I Les vecteurs du plan II Les coordonnées cartésiennes dans le repère III Les vecteurs colinéaires A La translation B Les propriétés REMARQUE Dé$nir un vecteur revient à dé$nir une translation. EXEMPLE Sur la $gure ci-dessous, les points A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et C par la translation de vecteur . , et sont donc des représentants du vecteur . On écrit alors : u AA′ BB′ CC′ u = u = AA′ = BB′ CC′ REMARQUE Un vecteur admet une in$nité de représentants. C Opérations sur les vecteurs PIÈGE Cette relation n'est pas véri$ée pour les distances (en général, ). AB + BC = AC Le plan est rapporté à un repère . O; ; ( i j ) A Les coordonnées d'un point B Les coordonnées d'un vecteur REMARQUE A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "$xe" puisqu'il admet une in$nité de représentants. A DéBnition B La caractérisation analytique REMARQUE Cela revient à montrer que . xy − ′ x y = ′ 0 EXEMPLE Translation DÉFINITION Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est une transformation du plan qui à tout point C associe le point D tel que et ont même milieu. Cette transformation est appelée translation de vecteur . AD [ ] BC [ ] AB PROPRIÉTÉ Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). AB Vecteur DÉFINITION Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : Une direction Un sens Une norme On le représente par une Mèche. DÉFINITION Soient deux points A et B, et soit le vecteur correspondant à la translation qui transforme A en B. Le vecteur est un représentant du vecteur . La direction du vecteur est celle de la droite . Le sens du vecteur est le sens de l'origine A vers l'extrémité B. La norme du vecteur est la longueur AB du segment . On la note . u AB u u AB ( ) u u AB [ ] = ∥ ∥u ∥ ∥ = ∥ ∥AB∥ ∥ AB Vecteur nul DÉFINITION Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté . 0 EXEMPLE Quel que soit le point A du plan, on a . = AA 0 Opposé d'un vecteur DÉFINITION Soient A et B deux points du plan. Le vecteur est l'opposé du vecteur . On note . BA AB = BA −AB EXEMPLE ABCD est un losange de centre O. et sont deux vecteurs opposés. On note : AB CD = AB −CD PROPRIÉTÉ Les vecteurs et sont égaux : Si et seulement si et ont même direction, même sens et même norme. Si et seulement si C est l'image de D par la translation de vecteur . Si et seulement si les segments et ont même milieu Si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) AB DC AB DC AB AC [ ] BD [ ] EXEMPLE ABCD est un losange de centre O. et sont des vecteurs égaux. AB DC PROPRIÉTÉ M est le milieu de si et seulement si . AB [ ] = AM MB Somme de vecteurs DÉFINITION Soient et deux vecteurs. La somme des vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs et . On note . u v u v w u v = w + u v Relation de Chasles THÉORÊME Soient A, B et C trois points distincts du plan. Alors : + AB = BC AC PROPRIÉTÉ Pour dessiner un représentant de la somme , on peut positionner des représentants des vecteurs et bout à bout et déterminer un représentant du vecteur somme à l'aide de la relation de Chasles. + u v u v PROPRIÉTÉ Pour dessiner un représentant de la somme , on peut positionner des représentants des vecteurs et à partir de la même origine, et construire un parallélogramme dont un représentant du vecteur somme est une "diagonale". + u v u v Produit d'un vecteur par un réel DÉFINITION Le produit d'un vecteur par un réel est un vecteur noté dont les caractéristiques sont les suivantes : a la même direction que ; a le même sens que si est positif ou le sens contraire de si est négatif ; La norme de est égale à . u k k u k u u k u u k u k k u k × ∣∣ ∥ ∥u ∥ ∥ EXEMPLE Sur la $gure ci-dessous, B est le milieu de [AC] donc les vecteurs et ont la même direction et le même sens. De plus, la longueur AB est la moitié de la longueur AC. On peut donc écrire : . AB AC = AB 2 1AC PROPRIÉTÉ Soient k un réel, et deux vecteurs. On a : u v + u = v + v u 0 = u 0 k = 0 0 k + = ( u v ) k + u k v EXEMPLE Pour tout point M du plan, on peut écrire : k = AB k + = (AM MB) k + AM kMB Coordonnées d'un point DÉFINITION Soit un point M du plan. Il existe un unique couple de réels tels que : On appelle coordonnées de M dans le repère le couple . x; y ( ) = OM x + i y j O; ; ( i j ) x; y ( ) EXEMPLE Si , alors les coordonnées de A sont . = OA 5 − i 3 1 j 5; − ( 3 1) Abscisse et ordonnée DÉFINITION Avec les notations précédentes, le réel est l'abscisse et le réel est l'ordonnée du point M. x y EXEMPLE Dans le repère ci-dessus, on a . Le point M a donc pour coordonnées . = OM 2 + i 2 j M 2,2 ( ) Coordonnées d'un vecteur DÉFINITION Soit un vecteur du plan. Il existe un unique couple de réels tels que : On appelle coordonnées du vecteur dans le repère le couple . u x; y ( ) = u x + i y j u O; ; ( i j ) x; y ( ) EXEMPLE Si , alors les coordonnées de sont . = AB − 6 5 i 3 j AB ; −3 (6 5 ) Abscisse et ordonnée DÉFINITION Avec les notations précédentes, le réel est l'abscisse et le réel est l'ordonnée du vecteur . x y u Coordonnées d'un vecteur THÉORÊME Soient deux points du plan A et B . Les coordonnées du vecteur véri$ent : x ; y ( A A) x ; y ( B B) (x y) AB x = x − B xA y = y − B yA EXEMPLE On considère les points et . On en déduit : Finalement : On a bien : A 2; 2 ( ) B 4; 5 ( ) AB (4 −2 5 −2) AB (2 3) = AB 2 + i 3 j PROPRIÉTÉ Soient un vecteur du plan de coordonnées et un vecteur du plan de coordonnées . Pour tout réel , le vecteur a pour coordonnées . Le vecteur a pour coordonnées . u (x y) v (x ′ y ′) k k u (kx ky) + u v (x + x ′ y + y ′) EXEMPLE Si le vecteur a pour coordonnées alors le vecteur a pour coordonnées . Si le vecteur a pour coordonnées et le vecteur a pour coordonnées alors le vecteur a pour coordonnées . AB ( 5 −2) −3AB = ( −3 × 5 −3 × −2 ( )) (−15 6 ) AB ( 5 −2) CD (−1 3 ) + AB CD = ( 5 −1 −2 + 3) (4 1) Vecteurs colinéaires (1) DÉFINITION Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel non nul tel que : u v k = u k v EXEMPLE Sur la $gure ci-dessous, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : . Ainsi les vecteurs et sont colinéaires. = AB 2 1AC AB AC Vecteurs colinéaires (2) THÉORÊME Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles. EXEMPLE Sur la $gure ci-dessus, les deux vecteurs ont des directions parallèles et sont donc colinéaires. PROPRIÉTÉ Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Les points A, B et C sont alignés si uploads/Ingenierie_Lourd/ les-vecteurs-2nde-cours-mathematiques-kartable.pdf