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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées M308 : Théorie des groupes Clément BOULONNE Avec la participation de Jean-Yves PALLARO, d’après des notes de cours données par Chenxi GUO. Cours dispensé par Pierre Debes L3 Mathématiques 2008 - 2009 Table des matières 1 Structures de groupe 5 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Structure induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Structure produit direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Structure quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Groupes monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Automorphismes intérieurs, groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Groupe opérant sur un ensemble 21 2.1 Groupe de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Action d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Théorèmes de Sylow 43 3.1 p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Groupes abéliens, groupes nilpotents, résolubles 47 4.1 Groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Commutateurs et groupes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 4 Chapitre 1 Structures de groupe 1.1 Généralités Déﬁnition 1.1. On appelle groupe la donnée (G, ◦) d’un ensemble G et d’une loi (ou opération) de composition interne, c’est-à-dire une application G × G 7→ G (g1, g2) → g1.g2 . vériﬁant : 1. Associativité : x ◦(y ◦z) = (x ◦y) ◦z 2. Élément neutre : il existe e ∈G tel que e ◦x = x ◦e = x 3. Élément symétrique : ∀x ∈G, il existe x′ ∈G tel que x◦x′ = x′◦x = e. On note x′ = x−1. Remarque 1.2. Si en plus, on a la commutativité : x ◦y = y ◦x, le groupe est commutatif ou abélien. Dans ce cas, en général, la loi est notée +. Exemples 1.3. 1. (Z/nZ, +), (Q ∗, ×),(Z, +) sont abéliens. 2. (GLm(C ), ×) et (Sn, ◦) sont non abéliens. Remarque 1.4. Si G est un groupe, alors on a : ∀a, n, b ∈G a.n = b ks +3+3 n = a−1b a−1.(a.n) = a−1.b 2: m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m et a.n = a.y ⇔n = y, n.a = y.a ⇔n = y. Déﬁnition 1.5. On appelle ordre du groupe G le cardinal du groupe G. On note |G| = card(G). 1.2 Structure induite Déﬁnition 1.6. Étant donné un groupe (G, ◦), un sous-groupe de G est la donnée d’un sous- ensemble H de G tel que H muni de la loi induite (ou restriction) de G à H soit un groupe, c’est-à-dire : 5 6 Chapitre 1. Structures de groupe – H × H →G soit à valeurs dans H. – passage à l’inverse : H 7→ G n → n−1 soit à valeurs dans H, – 1 ∈H (en particulier H ̸= ∅). Proposition 1.7. Si G est un groupe, H ⊂G est un sous-groupe si et seulement si : 1. ∀x, y ∈H, x.y−1 ∈H, 2. H ̸= ∅. Remarque 1.8. Les sous-groupes triviaux de G sont G et 1. Proposition 1.9. L’intersection d’une famille (Hi)i∈I de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe de G. Démonstration. Soit H = T i∈I Hi. – H ⊂G – H ̸= ∅car 1 ∈Hi ∀i ∈I – Soient x, y. Par déﬁnition de H, x, y ∈Hi, i ∈I, d’où xy−1 ∈Hi, i ∈I. (car Hi sous- groupe de G) c’est-à-dire xy−1 ∈H. Déﬁnition 1.10. Soient (G, ◦) un groupe et S ⊂G sous-ensemble. Alors l’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent S est un sous-groupe de G qui contient S. On l’appelle les sous-groupe de G engendré par S et on le note < S >. C’est le plus petit sous-groupe de G qui contient S. Proposition 1.11. On a < S >= {gn1 1 . . . gns s , gi ∈S, s ∈N, n1, . . . , ns ∈Z\{0}}. Démonstration. Montrons que < S >= Hs. – Hs est un sous-groupe de G 1. Hs ⊂G, 2. Hs ̸= ∅, 3. stabilité. – Hs ⊃S car si g ∈S, on peut écrire g = g−1, d’où < S >⊂Hs car on sait que < S > est le plus petit sous-groupe. Si g1 . . . gs ∈S ⊂< S > et n1, . . . , ns ∈Z\{0}, alors gn1 1 . . . gns s ∈< S >, d’où Hs ⊂< S > car < S > est un sous-groupe. Remarques 1.12. 1. < ∅>= {1} 2. On dit qu’un groupe G est : – de type ﬁni s’il existe S ⊂G ﬁni tel que G =< S >. – monogène s’il existe g ∈G tel que G =< g >, soit G = {gn, n ∈Z}. Si de plus, G est ﬁni, alors il est dit cyclique. Déﬁnition 1.13. Si G est un groupe et g ∈G, alors on appelle ordre de g le nombre | < g > |. 1.2. Structure induite 7 Théorème 1.14 (Théorème de Lagrange). Soient G un groupe ﬁni et H un sous-groupe de G. On a |H| divise |G|. Démonstration. Les classes à droite de G modulo un sous-groupe H sont telles que, pour x, y ∈G, on pose x ∼y si yx−1 ∈H, qui est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence de x est alors : x = {y ∈G, yx−1 ∈H} ⇐ ⇒yx−1 = h ∈H ⇐ ⇒y = hx, h ∈H ⇐ ⇒y ∈Hx = {h.x, h ∈H}. Donc x = H.x. Exemples 1.15. 1. gZ = 1 = 1 + gZ 2. Montrer que la preuve par g correspond à compter modulo g, c’est-à-dire dans la situation gZ ⊂Z. Lemme 1.16. Si G et ﬁni, alors ∀x ∈G, card(H.x) = |H|. Démonstration. L’application H 7→ Hx h → hx est bĳective. On dit que Hx, H, et xH sont équipotents. Preuve du théorème de Lagrange. Les classes à droite de G modulo H forment une partition de G, d’où |G| = somme des cardinaux des classes d’équivalences ⇒|G| = {nombre de classes} × |H|. Proposition 1.17. Soit G un groupe et x un élément de G d’ordre ﬁni n. Alors uploads/Ingenierie_Lourd/ m308-theorie-des-groupes.pdf