1. Physique Moderne : Devoir à la Maison Modèle d’Ising du ferromagnétisme "Mag

1. Physique Moderne : Devoir à la Maison Modèle d’Ising du ferromagnétisme "Magnetism, as you recall from physics class, is a powerful force that causes certain items to be attracted to refrigerators." Dave Barry Exercice 1.1 Un des modèles les plus simples pour décrire certaines propriétés des matériaux paramagnétiques et ferromagnétiques est le modèle d’Ising (que vous avez déjà rencontré dans l’exercice sur le système de N spins!). Dans celui-ci, chaque spin d’un système, noté ⃗ S, ne peut prendre que deux états, notés "up" (↑) ou "down" (↓), soit , correspondant à +1 et -1. On attribue alors à chaque spin un moment magnétique défini par ⃗ µ = µ⃗ S qui ne pourra prendre que les valeurs ±µ. On affecte ensuite à chaque spin une énergie qui regroupe plusieurs termes. Dans l’étude qui suit, nous nous limiterons aux termes suivants : • L’énergie Zeeman : il s’agit de l’énergie liée à l’effet d’un champ magnétique ⃗ B sur un spin : EZ = −⃗ µ.⃗ B • L’énergie d’échange ou d’interaction : il s’agit d’une énergie d’origine purement quantique entre les spins qui prend la forme suivante, où J est appelée la constante d’échange : Eint = −J ∑ (i,j) ⃗ Si.⃗ Sj = −J µ2 ∑ (i,j) ⃗ µi.⃗ µj On peut alors distinguer 3 cas : 1. Dans le cas où J = 0, les spins sont indépendants. On parle alors de matériaux parama- gnétiques. 2. Dans le cas où J est positif, ce terme énergétique favorise ainsi un alignement parallèle entre les spins. On parle alors de matériaux ferromagnétiques. 3. Dans le cas où J est négatif, il favorise ainsi un alignement antiparallèle. On parle dans ce cas de matériaux antiferromagnétiques. Dans la pratique de nombreux autres termes énergétiques interviennent : les énergies d’aniso- tropie, l’énergie magnétostatique, l’énergie magnétoélastique, l’interaction antisymétrique de Dzyaloshinskii- Moriya. . . Au cours de cet exercice, nous allons mettre en évidence certaines propriétés des matériaux magnétiques à l’aide de ce modèle. Nous allons en particulier montrer l’existence d’une transition de phase dans les matériaux ferromagnétiques. 2 Modèle d’Ising du paramagnétisme Dans un premier temps, nous allons considérer un système de N spins dans le cas où J = 0. Dans ce cas, tous les spins sont indépendants. On se place alors dans les hypothèses de l’ensemble canonique, à une température T fixée. On note N↑le nombre de spins "up" et N↓le nombre de spins "down". Le moment magnétique total est alors donné par m = µ(N↑−N↓), où µ est le moment magnétique d’un spin unique. Sachant que le moment maximal est µN, on définit un paramètre d’ordre magnétique, appelé aimantation et défini par : M = N↑−N↓ N N.B. : L’utilisation du terme "aimantation" constitue ici un abus de langage, il s’agit en fait au sens strict ici de l’aimantation normalisée, sans unité. Dans le cas paramagnétique, l’énergie du système de spins est donnée par : E = EZ = −⃗ B. N ∑ i=1 ⃗ µi ! où B est le champ magnétique appliqué. Nous allons tout d’abord calculer l’aimantation en utilisant la fonction de partition du système. 1. Calculer la fonction de partition Z de ce système, sous la forme Z = ZN 1 . Indication : La somme doit s’effectuer sur tous les états, c’est à dire sur toutes les configurations de spins possibles. 2. En déduire pour chaque spin les probabilités p↑et p↓d’être respectivement dans l’état "up" ou dans l’état "down". 3. En déduire M = ⟨Si⟩en fonction du champ B et de la température T. 4. Calculer la susceptibilité magnétique χ du matériau définie par : χ = ∂M ∂B B=0 5. Tracer la courbe M(µB) pour plusieurs valeurs de kBT. On pourra par exemple utiliser python et matplotlib. Nous allons maintenant retrouver ce résultat en calculant l’entropie et l’énergie libre du système dans l’ensemble micro-canonique. Notons d’ores et déjà les relations suivantes : nN = N↑+N↓ NM = N↑−N↓ D’où : N↑= Np↑= N 1+M 2  et N↓= Np↓= N 1−M 2  6. Calculer le nombre de micro-états Ωdu système correspondant à une aimantation M donnée et en déduire l’entropie S(M) et l’énergie E(M). On rappelle la formule de Stirling : log(N!) ≈N logN −N 3 7. Comme nous nous intéressons au comportement en température du système, il est utile d’utiliser l’énergie libre. Calculer F(M) = E(M)−TS(M). 8. Exprimer le minimum de l’énergie libre par rapport à M et en déduire l’aimantation en fonction du champ et de la température. 9. Tracer la courbe F/(NkBT) pour différentes valeurs de µB/kBT. Modèle d’Ising du ferromagnétisme Dans le cas où J > 0, le matériau est ferromagnétique et les spins ne peuvent plus être supposés indépendants : l’énergie d’un spin donné va dépendre de la configuration de ses voisins! Nous allons considérer ici le cas où seuls les plus proches voisins d’un spin participent à l’énergie d’échange de ce spin. Il est dans ce cas impossible de factoriser la fonction de partition Z comme nous l’avons fait dans le cas précédent et cette dernière s’écrit alors : Z = ∑ µ1=±µ ∑ µ2=±µ ... ∑ µN=±µ eJ/(µ2kBT)∑(i,j)⃗ µi⃗ µ j+⃗ B/(kBT)∑i⃗ µi Approximation du champ moyen Afin de simplifier le problème il est commun d’utiliser l’approximation dite du champ moyen, qui consiste à considérer qu’il n’existe aucune corrélation statistique entre les spins : ∀(i, j) ∈N2,⟨⃗ µi⃗ µj⟩= ⟨⃗ µi⟩⟨⃗ µi⟩ En d’autres termes, le comportement statistique d’un spin ne dépend que du comportement moyen de ses voisins et ne dépend pas des fluctuations instantanées de ces derniers. Une autre façon d’interpréter cette approximation est de dire que le comportement d’un spin ne dépendra pas de son environnement. L’espérance mathématique est alors pour ∀(i, j) ∈N2,⟨⃗ µi⟩= ⟨⃗ µj⟩= µ ⃗ M, par définition de M. Par conséquent, ⟨⃗ µi⟩⟨⃗ µj⟩= µ2M2 L’énergie d’échange peut alors s’écrire : ⟨Eint⟩= −J µ2 ∑ (i,j) ⟨⃗ µi⃗ µj⟩≈−J µ2 ∑ (i,j) ⟨⃗ µi⟩⟨⃗ µj⟩ On note q le nombre de plus proches voisins d’un spin aussi appelé nombre de coordination. Nous pouvons alors calculer le nombre de paires de plus proches voisins. N spins interagissent avec chacun des q plus proches voisins (dans le cas 2D, q = 4). Le compte doit de surcroît prendre en compte le fait que l’interaction de µi avec µj et l’interaction de µj avec µi ne doivent être comptées qu’une seule fois. On trouve ainsi : ⟨Eint⟩= −1 2JNqM2 10. Toujours dans l’approximation du champ moyen, calculer l’énergie libre F(M) = ⟨Eint + EZ⟩−TS. 11. Tracer la courbe F(M)/(NkBT) : (a) Pour B = 0 et différentes valeurs de Jq/(kBT) (b) Pour µB/(kBT) ̸= 0 et Jq/(kBT) > 0 12. Que se passe-t-il du point de vue de l’aimantation lorsque Jq/(kBT) = 1 pour B = 0? À quelle condition sur F(M) cela se produit-il? 4 13. Retrouver le résultat de la question précédente en calculant la température T C telle que : ∂2 ∂M2  F NkBT C  M=0 = 0 Tc est appelée température critique ou température de Curie. 14. Quel comportement retrouve-t-on pour F(M) lorsque T > T C ? Nous venons de mettre ici en évidence une transition de phase entre un état ordonné et un état désordonné, comme illustré sur la figure 1.1! La transition de phase s’opère à T C. La dérivée du paramètre d’ordre M est discontinue, mais le paramètre d’ordre est, lui, continu : on parle alors de transition de phase du second ordre, par opposition aux transitions de phase du premier ordre, pour lesquelles le paramètre d’ordre présente une discontinuité. Approche numérique par la méthode de Monte Carlo Même si elle permet de prédire l’existence de la transition de phase du second ordre évoquée ci- dessus, l’approximation du champ moyen ne permet en revanche pas de prédire avec précision les résultats expérimentaux. Nous allons voir dans cette partie comment l’utilisation des simulations numériques via la méthode de Monte Carlo permet d’obtenir de meilleurs résultats. Position du problème On considère un réseau 2D de N ×N spins. Afin d’éliminer les problèmes liés aux bords, on choisit des conditions aux limites périodiques de période N dans les deux dimensions. De telles conditions aux limites correspondent à un réseau en forme de tore. Dans ces conditions, chaque spin est entouré de 4 plus proches voisins. On se place dans le cas où il existe une interaction entre les spins, et plus particulièrement dans le cas où J > 0 (cas ferromagnétique). L’énergie d’un spin unique est alors donnée dans l’approximation du champ moyen par : Ei = −Bµi −J 2 ∑ q ⃗ µk.⃗ µi où q correspond aux indices des plus proches voisins (4) du spin i. Le cas B = 0 a été résolu par Lars Onsager en 1944. Dans les autres cas, aucune solution analytique n’a en revanche pu être trouvée pour le moment. Le nombre de micro-états possibles pour le système de N ×N spins est de 2N2. Pour un réseau modeste de 16×16 spins, il existe environ 1077 uploads/Ingenierie_Lourd/ physique-moderne-devoir-maison.pdf

Tags
Ingénierie l’énergie alors champ spins phase
Documents similaires
  • 16
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager