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Méthode des éléments ﬁnis Hervé Oudin 28/09/2008 cel-00341772, version 2 - 2 Ja

Méthode des éléments ﬁnis Hervé Oudin 28/09/2008 cel-00341772, version 2 - 2 Jan 2009 cel-00341772, version 2 - 2 Jan 2009 Table des matières 1 Méthodes d’approximation en physique 1 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Processus d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Transformation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Discrétisation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Écriture matricielle des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Principe des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Méthode des éléments ﬁnis 13 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Démarche éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Discrétisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Approximation nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Quantités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4 Assemblage et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Utilisation d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Déroulement d’une étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Techniques de calculs au niveau élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Organigramme d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Applications en mécanique 33 3.1 Structures treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Élément barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Structures portiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 Élément poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.3 Élément T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.4 Élément Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A Illustrations académiques 49 A.1 Application de la méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.2 Formulation variationnelle de l’équation de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A.3 Construction d’une approximation nodale linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.4 Fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire . . . . . . . . . . . . . uploads/Ingenierie_Lourd/ methode-des-elements-finis.pdf