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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle R 275 − 1 Modélisation par les plans d’expériences par Jacques GOUPY Docteur ès sciences Ingénieur-conseil Recherche Conseil et Formation es plans d’expériences sont utiles à toutes les personnes qui entreprennent des recherches scientiﬁques ou des études industrielles. Ils sont applicables à toutes les disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt, y, et des variables, xj , qui peuvent modiﬁer la valeur de y. Dès que l’on s’intéresse à la fonction : y = f (xi ) il faut penser aux plans d’expériences. Ils servent, en effet, à optimiser l’organi- sation des essais expérimentaux pour obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d’expériences et la meilleure précision possible sur les répon- ses calculées avec le modèle. Cet objectif est atteint si l’on suit les règles établies mathématiquement et si l’on adopte une démarche rigoureuse. Il existe de nom- breux plans d’expériences adaptés à tous les cas rencontrés par un expérimen- tateur. Parmi tous ces plans, certains sont plus fréquemment utilisés que les autres. Nous indiquerons les principes fondamentaux de cette nouvelle science appelée Expérimentique et nous passerons en revue la majorité des plans qui, aujourd’hui, sont à la disposition des expérimentateurs. Ils pourront même, s’ils ne trouvent pas le plan qui convient à leur étude, en façonner un, original, qui répondra aux exigences de leur travail. Le lecteur pourra utilement se reporter à l’article référencé [1]. 1. Principes de base..................................................................................... R 275 - 2 2. Plans factoriels complets à deux niveaux ........................................ — 4 3. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux 2k–q ...................... — 7 4. Autres plans à deux niveaux................................................................. — 13 5. Plans à plusieurs niveaux ...................................................................... — 13 6. Plans pour surfaces de réponse........................................................... — 15 7. Plans de mélanges................................................................................... — 18 8. Plans booléens.......................................................................................... — 22 9. Logiciels de plans d’expériences......................................................... — 22 Références bibliographiques ......................................................................... — 23 L MODÉLISATION PAR LES PLANS D’EXPÉRIENCES _____________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. R 275 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle 1. Principes de base La compréhension de la méthode des plans d’expériences s’appuie sur deux notions essentielles, celle d’espace expérimental et celle de modélisation mathématique des grandeurs étudiées. 1.1 Notion d’espace expérimental I Supposons qu’un expérimentateur lance une étude. Il s’intéresse à une grandeur qu’il mesure à chaque essai. Cette grandeur s’appelle la réponse, c’est la grandeur d’intérêt. La valeur de cette grandeur dépend de plusieurs variables. Au lieu du terme « variable » nous emploierons le mot facteur. On dit que la réponse dépend de plusieurs facteurs. G Le premier facteur peut être représenté par un axe gradué et orienté (ﬁgure 1). La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsque l’on étudie l’inﬂuence d’un fac- teur, en général, on limite ses variations entre deux bornes : — la borne inférieure est le niveau bas ; — la borne supérieure est le niveau haut ; L’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s’appelle le domaine de varia- tion du facteur, ou plus simplement, le domaine du facteur. On a l’habitude de noter le niveau bas par – 1 et le niveau haut par + 1. G S’il y a un second facteur, il est représenté, lui aussi, par un axe gradué et orienté. On déﬁnit, comme pour le premier facteur, son niveau haut, son niveau bas et son domaine de variation. Ce second axe est disposé orthogonalement au premier. G On obtient ainsi un repère cartésien qui déﬁnit un espace eucli- dien à deux dimensions. Cet espace est appelé l’espace expérimen- tal (ﬁgure 2). G Le niveau x1 du facteur 1 et le niveau x2 du facteur 2 peuvent être considérés comme les coordonnées d’un point de l’espace expérimental (ﬁgure 3). Une expérience donnée est alors représen- tée par un point dans ce système d’axes. Un plan d’expériences est représenté par un ensemble de points expérimentaux. I La réunion des domaines de chaque facteur déﬁnit le « domaine d’étude ». Ce domaine d’étude est la partie de l’espace expérimen- tal retenu par l’expérimentateur pour faire ses essais. Une étude, c’est-à-dire un ensemble d’expériences bien déﬁnies, est représen- tée par une série de points disposés dans le domaine d’étude (ﬁgure 4). Cette manière de représenter une expérimentation par un ensemble de points dans un espace cartésien est une représentation géométrique de l’étude. Nous verrons une autre représentation d’une étude au paragraphe 2.1. La déﬁnition que nous venons de donner s’applique bien aux variables continues. Mais il existe d’autres types de variables qui ne sont pas continues. Il y a les variables discrètes comme, par exemple, des personnes : Jean, Pierre et Jacques. On peut encore parler d’espace expérimen- tal, mais il n’aura pas les mêmes propriétés que l’espace des variables continues. Il y a également les grandeurs ordonnables comme, par exemple, des hauteurs qui peuvent être petites, moyennes et grandes. Là aussi la notion d’espace expérimental existe toujours mais cet espace possède des propriétés différentes des deux premiers. La conception et l’interprétation des plans devront prendre en compte les différents types de variables. Les niveaux xi représentent les coordonnées d’un point expéri- mental et y est la valeur de la réponse en ce point. On attribue à la réponse un axe orthogonal à l’espace expérimental. La représenta- tion géométrique d’un plan d’expériences et des réponses associées nécessite donc un espace ayant une dimension de plus que l’espace expérimental. La représentation géométrique des résultats d’un plan à deux facteurs nécessite un espace à trois dimensions : une pour la réponse, deux pour les facteurs. À chaque point du domaine d’étude correspond une réponse. À l’ensemble de tous les points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse (ﬁgure 5). Figure 1 – Domaine de variation du « facteur », constitué de toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut Figure 2 – Déﬁnition de l’espace expérimental Figure 3 – Niveaux des facteurs déﬁnissant des points expérimentaux dans l’espace expérimental Figure 4 – Déﬁnition du domaine d’étude par l’expérimentateur Domaine du facteur Niveau haut Niveau bas +1 --1 Facteur Facteur 1 Facteur 2 Espace expérimental Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. Facteur 1 Facteur 2 Point expérimental x1 x2 Facteur 1 Facteur 2 Les points expérimentaux sont disposés dans le domaine d'étude. --1 +1 --1 +1 ____________________________________________________________________________________________ MODÉLISATION PAR LES PLANS D’EXPÉRIENCES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle R 275 − 3 Le choix du nombre et de l’emplacement des points d’expé- riences est le problème fondamental des plans d’expériences. On cherche le minimum d’expériences tout en conservant la meilleure précision possible sur la surface de réponse. 1.2 Notion de modélisation mathématique En l’absence de toute information sur la fonction qui lie la réponse aux facteurs, on se donne, a priori, une loi d’évolution dont la for- mulation la plus générale est la suivante : y = f (x1 , x2 , x3 ..., xn ) (1) I Cette fonction est trop générale et il est d’usage d’en prendre un développement limité de Taylor. Si les dérivées du développement de Taylor peuvent être considérées comme des constantes le déve- loppement précédent prend la forme d’un polynôme de degré plus ou moins élevé : (2) G y est la grandeur à laquelle s’intéresse l’expérimentateur. C’est la réponse ou la grandeur d’intérêt. Elle est mesurée au cours de l’expérimentation et elle est obtenue avec une précision donnée. G xi représente le niveau attribué au facteur i . C’est la valeur de la coordonnée du facteur i retenue par l’expérimentateur pour réaliser un essai. Cette valeur est parfaitement connue. On supposera même, par la suite, que ce niveau est déterminé sans erreur (hypo- thèse classique de la régression). G a0 , ai , aij , aii sont les coefﬁcients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à par- tir des résultats des expériences. I L’intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir utiliser tous les résultats de l’algèbre matricielle. Il est possible d’uti- liser d’autres fonctions mathématiques ; toutefois, l’usage montre que les polynômes permettent de résoudre la plupart des problè- mes et ce sont eux qui ont la faveur des expérimentateurs. Ce modèle est appelé modèle a priori ou modèle postulé. Si l’expérimentateur ne choisit pas de modèle, la théorie le choisit pour lui. C’est le cas, par exemple, des plans factoriels. 1.3 Modèle de l’expérimentateur I Deux compléments doivent être apportés au modèle précédem- ment écrit. G Le uploads/Ingenierie_Lourd/ modelisation-par-les-plans-d-x27-experiences.pdf