Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche Scientifique de la Formati

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche Scientifique de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun École Nationale Supérieure des Mines de Rabat CONCOURS NATIONAL COMMUN d’admission aux Établissements de Formation d’Ingénieurs et Établissements Assimilés Session 2016 ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES II Filière MP Durée 4 heures cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est interdit Page de garde Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages. L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un problème. Durée : 4 heures Problème Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on désigne par E = Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et on note par E∗= L (E, R), le R-espace vectoriel des formes linéaires sur E, (une forme linéaire sur E est une application linéaire de E sur R). On rappelle qu’un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel supplémentaire à une droite vectorielle dans E. La matrice transposée de M est notée tM. Si M ∈E, on note Vect(M) le sous-espace vectoriel de E engendré par M. On désigne par In la matrice unité de Mn(R) et pour tout s ∈N, on note [ [1, n] ] = {1, ..., s}. On définit l’application trace, notée Tr, de E vers R comme suit, pour tout M = (mi,j)1≤i,j≤n ∈E, Tr(M) = n P k=1 mk,k. L’objet du problème est de montrer, dans la partie V, que tout hyperplan vectoriel de E contient au moins une matrice inversible et dans la partie VI, que tout hyperplan vectoriel de E qui est muni d’un produit scalaire, contient au moins une matrice orthogonale. Partie I Étude de quelques propriétés de l’application trace 1. (a) Montrer que Tr est une forme linéaire. (b) Montrer que pour tous éléments A et B de E, Tr(AB) = Tr(BA) = Tr((tA)(tB)). (c) Déterminer la dimension de ker Tr. (d) Montrer que E = ker Tr ⊕Vect(In). (e) Vérifier que ker Tr est un hyperplan de E qui contient au moins une matrice inversible. 2. Soit ϕ l’application qui, à toute matrice M de E associe ϕ(M) = M + Tr(M)In. (a) Montrer que ϕ est un automorphisme de E. (b) i. Déterminer E1(ϕ) = {M ∈E; ϕ(M) = M}. ii. Montrer que En+1(ϕ) = {M ∈E; ϕ(M) = (n + 1)M} = Vect(In). iii. En déduire que ϕ est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de ϕ. 3. Soit J une matrice non nulle de E dont la trace est nulle. On considère ψ l’endomorphisme de E qui, à toute matrice M de E associe ψ(M) = M + Tr(M)J. (a) Vérifier que le polynôme X2 −2X + 1 est un polynôme annulateur de ψ. (b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de ψ. (c) ψ est-il diagonalisable ? Justifier la réponse. Épreuve de Mathématiques I 1 / 4 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP Partie II Un premier résultat préliminaire Soient F et G deux espaces vectoriels de dimensions respectivement finies p ∈N∗et m ∈N∗. Soit u une application linéaire de F vers G, de rang r tel que r ∈N. Mm,p(R) désigne l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à m lignes et p colonnes. 1. Soit F1 un supplémentaire de ker u dans F, on considère l’application v : F1 →Im(u) telle que x 7− →v(x) = u(x). Montrer que v est un isomorphisme. 2. On suppose que 0 < r < min(p, m) et on note B = (e1, ..., ep) une base de F, telle que (e1, ..., er) soit une base de F1 et (er+1, ..., ep) une base de ker u. On pose, pour tout entier naturel i ∈[ [1, r] ], εi = v(ei). (a) Montrer qu’il existe une famille (εr+1, ..., εm) de vecteurs de G, telle que la famille C = (ε1, ..., εm) soit une base de G. (b) Déterminer MatB,C (u), la matrice de u relativement aux bases B et C . 3. En déduire que pour toute matrice M de Mm,p(R), si 0 < r = rg(M) < min(m, p), alors il existe deux matrices inversibles S et T respectivement de Mm(R) et Mp(R) telles que M = SJm,p,rT −1 avec Jm,p,r =  Ir 0 0 0  ∈Mm,p(R) et Ir la matrice identité de Mr(R). 4. Quelle est la forme de la matrice Jm,p,r, dans chaque cas suivant, ( 0 < r = p < m), ( 0 < r = m < p ), ( 0 < r = m = p) ? Justifier la réponse. Partie III Un deuxième résultat préliminaire Soit L un espace vectoriel sur R de dimension finie s( s ∈N∗). Notons L∗= L (L, R) l’espace des formes linéaires de L. Soit B = (l1, ..., ls) une base de L. On note, pour tout i ∈[ [1, s] ], l∗ i la forme linéaire sur L définie de la façon suivante, pour tout entier j ∈[ [1, s] ], l∗ i (lj) = δj i où δj i =  1 si i = j 0 sinon , le symbole de Kronecker. 1. Montrer que B∗= (l∗ 1, ..., l∗ s) est une famille libre de L∗. 2. Soit x ∈L tel que x = s X i=1 xili, montrer que, pour tout j ∈[ [1, s] ], l∗ j (x) = xj. 3. En déduire que B∗est une famille génératrice de L∗. 4. En déduire la dimension de L∗. Partie IV Une caractérisation d’une forme linéaire sur E Soit A une matrice de E, on définit l’application φA de E vers R, de la façon suivante, pour tout M de E, φA(M) = Tr(AM). 1. Vérifier que φA est une forme linéaire sur E. 2. Soit h l’application définie de E vers E∗par A →h(A) = φA. Soit (i, j) ∈[ [1, n] ] × [ [1, n] ], une matrice élémentaire Ei,j = (ek,l)1≤k,l≤n ∈Mn(R) est définie comme suit, pour tout couple d’entiers (k, l) ∈[ [1, n] ] × [ [1, n] ], ek,l = δi kδj l , ( δi k ( resp. δj l ) est le symbole de Kronecker qui est défini dans la partie III). (a) Vérifier que h est une application linéaire. (b) i. On pose A = (ak,l)1≤k,l≤n ∈Mn(R) et soit (i, j) ∈[ [1, n] ] × [ [1, n] ], calculer φA(Ei,j) en fonction des coefficients de la matrice de A. ii. En déduire que h est injective. Épreuve de Mathématiques I 2 / 4 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP (c) En déduire que h est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Partie V Tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible Soit H un hyperplan de E. 1. Montrer que pour toute matrice A non nulle de E qui n’appartient pas à H, on a E = H ⊕Vect(A). 2. Montrer qu’il existe une matrice B de E telle que H = ker(φB). 3. On note r = rg(B) et on considère la matrice de E, P1 =         0 . . . . . . 0 1 1 0 0 ... ... . . . . . . ... ... ... . . . 0 . . . 0 1 0         (a) Montrer que P1 est une matrice inversible. (b) On suppose que 0 < r < n et on note Rr = (ri,j)1≤i,j≤n , avec  ri,i = 1 si 1 ≤i ≤r ri,j = 0 sinon . Montrer que P1 appartient à ker(φRr). 4. En déduire que tout hyperplan H de E contient au moins une matrice inversible. Partie VI Tout hyperplan de E contient au moins une matrice orthogonale L’espace vectoriel E étant muni du produit scalaire défini comme suit, pour toutes matrices M et N de E, (M|N) = Tr(tMN). On rappelle que le groupe orthogonal et l’espace vectoriel des matrices symétriques de E sont notés respectivement On = {M ∈E; tMM = In} et Sn = {M ∈E; tM = M}. Soit N un élément de On, on définit l’application θN de E dans lui-même comme suit, pour tout P de E, θN(P) =t NPN. 1. On pose A uploads/Ingenierie_Lourd/ cnc-mp-2016-maths-2-epreuve.pdf

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Ingénierie matrice montrer hyperplan orthogonale vectoriel
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