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NF04 Automne (E.L.) 1 NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur

NF04 Automne (E.L.) 1 NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur Intervenants : •E. Lefrançois (4988) : resp. UV •G. Hello •V. Martin •M. Rachik •A. Rassineux NF04 Automne (E.L.) 2 En quelques mots … Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques Source : ONERA Source : technoscience Structure Thermique Fluide Modèle réel Modèle numérique NF04 Automne (E.L.) 3 Pourquoi NF04 ?  Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique  99 % de la physique sous la forme d’E.D.P.  « Outils » mathématiques actuels généralement inadaptés dans un contexte industriel. NF04 Automne (E.L.) 4 Présentation générale  Déroulement sur 15 semaines: Cours TD/TP sur machines (Windows et Unix)  Moyens à disposition: Ensemble de scripts de calculs sous Matlab Ideas Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora  Évaluation: Devoirs (10%), médian (30%), final (40%) Mini projet (20%) (20-30 h) Acoustique automobile, musicale Transport-diffusion d’un polluant Portance profil porteur … Acoustique automobile Pollution d’un lac Portance aile d’avion NF04 Automne (E.L.) 5 Bagages nécessaires …  Mathématique : Équations différentielles ordinaires Techniques d’intégration standard Opérations matricielles de base Notion d’interpolation  Physique : ?  Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique  Informatique : apprentissage de l’outil Matlab NF04 Automne (E.L.) 6 Site web Mecagora : portail UTC « ouvert » Accès au cours NF04 Automne (E.L.) 7 Site web Mecagora : page d’accueil caractéristique NF04 Automne (E.L.) 8 Site web Mecagora : accès aux exemples caractéristique NF04 Automne (E.L.) 9 Site web Mecagora : lecture d’un exemple caractéristique Boucle de modélisation NF04 Automne (E.L.) 10 Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours caractéristique NF04 Automne (E.L.) 11 Plan du cours  Introduction générale  Différences finies 1D, 2D  Éléments finis 1D, 2D Médian  Problèmes temporels du 1er ordre  Problèmes temporels du 2nd ordre  Analyse de stabilité  Analyse modale Final NF04 Automne (E.L.) 12 Cours 1 Introduction générale • Généralités • Concept de la boucle de modélisation • Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D NF04 Automne (E.L.) 13 Principe des méthodes numériques  Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique.  On parle ainsi de « modèles numériques ». Ils doivent s’approcher au mieux des « modèles réels ».  La physique possède un caractère :  Tridimensionnel  Temporel  Non linéaire (HPP*, matériaux …) Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié Donc : Approchée = simplifiée Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques ! * HPP : Hypothèses des Petites Perturbations NF04 Automne (E.L.) 14 Généralités Système physique •Linéaire •Non linéaire Discret Continu Stationnaire Instationnaire Équilibre Valeurs propres Stationnaire Instationnaire Équilibre Valeurs propres  K U F     K U M U     0 0 ( ), ( ) v s mu cu u f u f u t u t     sur S connus. L C Différences finies Éléments finis   0 v s u f u f    sur V sur S L C     u u u u     sur V sur S 1 2 1 2 L L C C      0 0 ( ) , ( ) M U C U K U F U t U t    connus. NF04 Automne (E.L.) 15 Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3)  Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions Existence ou non de dimensions négligeables ou prépondérantes devant les autres ?  Comportements linéaires ou non : Hypothèse des Petites Perturbations vérifiée ? Caractéristiques matériaux bien identifiées ? Hauban : 1D Tablier : 2D Pile de pont : 3D ou 1D ? NF04 Automne (E.L.) 16 Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3)  Problème temporel ou non : Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques : … des sollicitations externes … du fluide, du matériaux … Solution recherchée sur une courte ou longue période ? Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire Source : ldeo.columbia ensoleillement Sol (peu affecté) : analyse quasi-statique NF04 Automne (E.L.) 17 Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3)  Présence ou non de couplages multi physiques ? Échelle des temps caractéristiques : fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ... Réponse en fonction du rapport des temps : Réduite Temps caractéristique solide U =Temps caractéristique fluide Réduite U <<1 Réduite U 1  Réduite U >>1 Réservoir en ballottement Acoustique musicale (fluide ~ immobile % solide) Aéroélasticité supersonique (solide ~ immobile % fluide) Ouvrages génie civil (pont …) (fluide et solide se « voient ») NF04 Automne (E.L.) 18 Complexité : multi compétences Structure : •Tenue •Fatigue •Aéroélasticité •Fréquences •Commandes •… Fluide : •Aérodynamique •Traînée •Acoustique •… Moteurs : •Combustion •Poussée •Acoustique environmentale •… Intérieur : •Capacité transport •Confort passagers •… Source : futura-sciences NF04 Automne (E.L.) 19 Chaîne de conception « industrielle » Conception Simulation Expérimental Production Sources : engineering.swan ONERA Aérodynamique Aéroélasticité Tenue mécanique NF04 Automne (E.L.) 20 « Boucle de modélisation » Modèle physique Modèle mathématique (continu) Modèle numérique (algébrique) Modèle informatique NF04 Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes : Écart entre solution réelle et solution exacte du problème mathématique Sources d’erreurs Écart entre solution exacte du problème mathématique et solution du système discret Écart entre solution exacte du système discret et solution informatique = + + NF04 Automne (E.L.) 21 « Boucle de modélisation » •Observation du phénomène •Définition des objectifs NF04 Modèle mathématique Modèle discret Modèle informatique ( , , ...) 0 u u L u f x t       Conditions auxlimites et initiales 11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 k k k u f k k k u f k k k u f                             Modèle physique  L’idéal est d’avoir une approche indépendante : de la physique étudiée ; de la dimension géométrique du problème ; du régime (stationnaire ou non) ; de la méthode de discrétisation et des schémas employés. NF04 Automne (E.L.) 22 Analyse des sources d’erreurs Mathématique : 3D 1D, 2D? temporel ? conditions aux limites et initiales grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? loi de comportement du matériaux absence de couplage ? Algébrique : choix du découpage, de l’élément choix de l’algorithme de résolution … Informatique : précision machine programmation … Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ? il annule les erreurs estime et contrôle NF04 Automne (E.L.) 23 Apprentissage par l’exemple … « Isolation thermique d’un mur »  Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux.  Méthode : Différences finies  Simplifications du modèle : Stationnaire : à justifier ! Un seul isolant Rayonnement négligeable : à justifier ! Monodimensionnel : à justifier ! Source : www.isover.be - Saint Gobain NF04 Automne (E.L.) 24 Modèle physique  Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2) Fonction des propriétés des matériaux employés Conductivité thermique : k (W/°C-m) Fonction du champ de température : T(x) (°C) Loi de comportement entre flux et température (Fourier) Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text (Conditions aux limites)  Objectifs : Calculer la température en tout point En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes NF04 Automne (E.L.) 25 Modèle mathématique  Définition du domaine d’étude :  Équilibre thermique régi par :  Loi de comportement :  Conditions aux limites (CL) : Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) :    . 0, 0, v q x f x L        q x k T x   0 30 T C     0, x L  L     ext q L h T L T      2 2 0, 0, soit à résoudre: v d T x k f x L dx     NF04 Automne (E.L.) 26 Modèle numérique (1/4)  Discrétisation du domaine d’étude : Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L  On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues  Objectif suivant : trouver 6 équations ! 1 2 3 4 5 6 T1 T2 T3 T4 T5 T6 NF04 Automne (E.L.) 27  Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au uploads/Ingenierie_Lourd/ nf04-120907.pdf