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La proportion divine Le nombre d’or PLAN I. Un petit test II. Définition III. H

La proportion divine Le nombre d’or PLAN I. Un petit test II. Définition III. Histoire  De l’antiquité à nos jours  Aujourd’hui dans notre vie quotidienne : cartes et formats IV. Propriétés et constructions animées  Rectangle d’or , sa spirale et l’œil de Dieu  Triangle d’or et sa spirale  Pentagone d’or V. Le nombre d’or et le corps humain  La quine. Le compas d’or.  Léonard et la perfection d’or VI. Architecture et nombre d’or VII. Art et nombre d’or  Peinture, bandes dessinées et violons VIII. Nature et nombre d’or  Les plantes, escargots…  Les lapins et la suite de Fibonacci  Le capital IX. Il n’y a pas que le nombre d’or  Autres formats I. Un petit test En 1876, l’Allemand Gustav Theodor Fechner (1801-1887), mena une enquête auprès de personnes dépourvues de toute expérience artistique. Parmi plusieurs rectangles il leur demanda quel était celui qui leur était le plus agréable. Parmi ces rectangles, quel est celui qui vous plaît le plus ? I. Un petit test Le n° 5 est un rectangle d’or I. Un petit test Le rectangle d’or et d’autres variantes très proches sont désignés par une grande majorité de personnes. II. Définition Fechner, arriva à la conclusion que la ‘divine proportion’ possède harmonie et beauté : « Pour qu’un objet soit considéré comme beau du point de vue de la forme, il doit y avoir, entre la partie la plus petite et la partie la plus grande, la même relation qu’entre la plus grande partie et le tout. » ( a + b ) / a = a / b Ceci est la description du nombre d’or. Néanmoins, bien avant Fechner, artistes et architectes étaient arrivés à des conclusions similaires. Présente dans la Grèce antique, la relation du nombre d’or avec l’art commence réellement avec la Renaissance et est toujours d’actualité. II. Définition Un grand rectangle de longueur x égale au nombre d’or, et de largeur 1. Un carré de coté 1 ; Un petit rectangle de longueur 1, et de largeur x -1. Comme x est non nul, nous avons la relation suivante : x² - x - 1 = 0 La solution positive est le nombre d’or : ~ 1,6180339887… Les deux rectangles x sur 1 et 1 sur (x-1) sont dorés. Cliquer pour la construction animée du rectangle d’or. II. Définition III. Histoire  Dès l’antiquité  EUCLIDE (~ 325-265 AV.J.-C. ) La plus ancienne définition et construction géométrique de la section d'or remonte au IIIème siècle avant J.-C. et est due au mathématicien grec Euclide (~ 325-265 AV.J.-C. ) , dans son ouvrage Les Eléments. Livre VI Définition 3 « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la droite totale est au plus grand segment ce que le plus grand segment est au petit. » III. Histoire Eléments de géométrie d’Euclide Livre VI définition 3. Cet ouvrage est un des livres les plus célèbres, les plus imprimés et les plus commentés de l’Histoire. .  Dès l’antiquité EUCLIDE III. Histoire  Dès l’antiquité PYTHAGORE (~ 570-500 AV.J.-C. ) « Tout n’est que nombre. » Le groupe des pythagoriciens a pour emblème symbolique le pentagramme qui est leur signe de ralliement. III. Histoire  Dès l’antiquité PYTHAGORE : « Tout n’est que nombre. » Les informations sont rares et incertaines car c'était une secte secrète du VIe siècle avant J.C. En effet, ils n'avaient pas le droit de divulguer leurs découvertes mathématiques. Cela entraînait une exclusion et des châtiments humains (par exemple Hippase fut jeté à la mer et périt noyé pour avoir divulgué la démonstration de l'irrationalité de √2 ). III. Histoire  Le moyen-âge LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250) Le plus remarquable mathématicien du moyen-âge connu sous le patronyme moderne de Fibonacci. Dans l’ouvrage Liber Abaci, Fibonacci a rédigé un énoncé traitant de la reproduction des lapins. Même s’il ne s’agissait certainement au départ que d’une récréation mathématique, c’est la première modélisation démographique assez réaliste en biologie. Le problème est posé ainsi : « Combien de couples de lapins aurons-nous à la fin de l’année si nous commençons avec un couple qui engendre chaque mois un autre couple qui procrée à son tour au bout de deux mois de vie ? » III. Histoire  Le moyen-âge LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250) Cliquer pour la’animation des lapins de Fibonacci III. Histoire  Le moyen-âge LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250) Les lapins de FIBONACCI Finalement nous avons : Au début 1 couple Au bout de 1 mois 1 couple Au bout de 2 mois 2 couples Au bout de 3 mois 3 couples Au bout de 4 mois 5 couples Au bout de 5 mois 8 couples Au bout de 6 mois 13 couples Au bout de 7 mois 21 couples Au bout de 8 mois 34 couples ... III. Histoire  Le moyen-âge LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250) III. Histoire  Le moyen-âge LEONARDO PISANO, dit FIBONACCI (1170-1250) Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l'on appelle « suite de Fibonacci ». Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite : si on note un le nième nombre de Fibonacci, un = un-1 + un - 2 III. Histoire  Le moyen-âge FIBONACCI Nous sommes peut-être chez Fibonacci ! III. Histoire Celui-ci, moine et professeur de mathématiques, a écrit en 1498 La divine proportion illustrée par Léonard De Vinci avec son Étude de proportion du corps humain selon Vitruve. Il introduit donc le terme de "divine proportion". Il considère que le nombre d'or a des propriétés esthétiques et il montre qu‘on le retrouve dans le domaine de l'architecture et de la peinture. Durant cette époque la mise en relation entre le nombre d'or et la suite de Fibonacci est trouvée dans une note anonyme. La division d'un terme de la suite par son précédent tend vers une approximation très proche du nombre d'or quand on prend des nombres élevés.  La Renaissance Luca PACIOLI (1445-1517) « La divine proportion. » Le nombre d'or est plus approfondi pendant la Renaissance avec Luca Pacioli. III. Histoire SURPRISE Lorsqu’on fait le rapport de deux termes consécutifs de cette suite, on s’approche de plus en plus du nombre d’or. ET la limite des quotients de deux termes successifs de la suite de Fibonacci est le nombre d’or.  La Renaissance « La divine proportion. » III. Histoire ~ 1,6180339887…  La Renaissance « La divine proportion. » III. Histoire  Le XXème SIECLE Matila Ghyka (1881-1965) « Le nombre d’or » C'est en 1932 que le prince roumain (écrivain et diplomate) Matila Ghyka donne un nom à ce nombre " Le Nombre d'or ". Ce nom est toujours utilisé aujourd’hui. Il traita la proportion d’or dans de nombreux ouvrages : - Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) - Le nombre d’or (1931). Il est considéré comme le fondateur de l’esthétique mathématique. Ses théories ont influencé les créations de S. Dali et Le Corbusier. Le poète Paul Valéry fut un de ses fervents défenseurs. II. Histoire  Aujourd’hui  Le nombre d’or dit encore « proportion d’or » est noté Depuis le XXème siècle le mathématicien nord-américain Mark Barr proposa de le désigner avec la lettre grecque Phi en hommage à l’architecte grec Phidias qui créa le Parthénon à Athènes. III. Histoire  Brève chronologie Ils ont fait avancer la connaissance du nombre d’Or III. Histoire  Brève chronologie Ils ont fait avancer la connaissance du nombre d’Or III. Histoire  Aujourd’hui Que peuvent avoir en commun des phénomènes naturels comme - l’agencement des graines d’une fleur de tournesol ; - la spirale de certains mollusques ; - les bras de la voie lactée ; - notre galaxie ? Quelle propriétés géométriques si harmonieuses se cachent - chez l’homme de Vitruve ; - dans l’œuvre de Dali, Vinci, Le Corbusier ; - un dodécaèdre ; - le format de la plupart de nos cartes bancaires ou promotionnelles ? IV. Propriétés magiques  Le rectangle d’or sa spirale et l’œil de Dieu Reconnaitre un rectangle d’or Il suffit de les disposer comme suit. Si la diagonale passe par les sommets indiqués nous avons un rectangle d’or IV. Propriétés  Le compas d’or Pour savoir si deux segments respectent la proportion d’or, il suffit de relever la mesure du petit segment avec le compas. Si l’ouverture opposée du compas coïncide avec le grand segment, les deux segments sont dans la proportion d’or. Pour les deux branches, on peut prendre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 13 et 21 ou bien 21 et 34 etc. IV. Propriétés  Rectangles d’or dans notre vie quotidienne Les cartes bancaires et autres… Cliquer l’image pour une explication animée de cette propriété. IV. Propriétés  Le parallélépipède d’or Un parallélépipède d’or IV. Propriétés  La spirale d’or du rectangle Si nous retirons dans un rectangle d’or un carré dont le côté est uploads/Ingenierie_Lourd/ nombre-dor-ligne.pdf