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Chapitre II Plan factoriel complet à deux niveaux 2k Chapitre II Plan factoriel

Chapitre II Plan factoriel complet à deux niveaux 2k Chapitre II Plan factoriel complet à deux niveaux 2k 1. Plan factoriel complet 2k : Définition  Un plan est dit factoriel quand, dans une même expérimentation, il est étudié plusieurs facteurs, qui varient simultanément et dont les niveaux sont croisés. Un plan est dit complet si tous les croisements possibles figurent dans l’expérimentation : toutes les combinaisons entre les différents niveaux des facteurs sont prises en compte.  Un plan est dit factoriel quand, dans une même expérimentation, il est étudié plusieurs facteurs, qui varient simultanément et dont les niveaux sont croisés. Un plan est dit complet si tous les croisements possibles figurent dans l’expérimentation : toutes les combinaisons entre les différents niveaux des facteurs sont prises en compte. Le plan factoriel complet est noté 2k, où le 2 correspond aux niveaux maximal et minimal qui délimitent le domaine d’étude d’un facteur et k est le nombre de facteurs étudiés. Pour un plan factoriel complet à k facteurs, il va donc falloir mener 2k expériences. 2. Avantages des plans factoriels complets (PFC) Les plans factoriels sont faciles à construire. Comme chaque facteur ne prend que deux niveaux les essais sont faciles à contrôler et les risques d'erreurs sont minimisés. Le calcul des effets et des interactions est très simple et ne demande pas d'outils informatiques évolués. L'interprétation des résultats est à la portée de tout expérimentateur et ne demande pas de connaissances approfondies en statistiques. La modélisation mathématique est immédiate. 2. Avantages des plans factoriels complets (PFC) Les plans factoriels sont faciles à construire. Comme chaque facteur ne prend que deux niveaux les essais sont faciles à contrôler et les risques d'erreurs sont minimisés. Le calcul des effets et des interactions est très simple et ne demande pas d'outils informatiques évolués. L'interprétation des résultats est à la portée de tout expérimentateur et ne demande pas de connaissances approfondies en statistiques. La modélisation mathématique est immédiate. Remarque Le seul inconvénient de ces plans est qu'ils obligent rapidement à faire beaucoup d'essais. Par exemple, pour étudier simplement 6 facteurs il faut réaliser 64 expériences. Ce qui est prohibitif. En effet, de nombreuses interactions sont nulles et certains facteurs sont sans influence. C'est pour palier cet inconvénient que les plans factoriels fractionnaires ont été développés. Remarque Le seul inconvénient de ces plans est qu'ils obligent rapidement à faire beaucoup d'essais. Par exemple, pour étudier simplement 6 facteurs il faut réaliser 64 expériences. Ce qui est prohibitif. En effet, de nombreuses interactions sont nulles et certains facteurs sont sans influence. C'est pour palier cet inconvénient que les plans factoriels fractionnaires ont été développés. 3. Variables centrées réduites (v.c.r.) Les facteurs étudiés sont notés Zj (j = 1 à k; k : le nombre de facteurs). Nous passerons du système de coordonnées Z1, Z2,......, Zk à un nouveau système x1, x2,……, xk dont les coordonnées sont sans dimensions. La formule de passage des variables d’origine Zj aux variables centrées réduites xj est : x Z Z Z j j j j   0  j k 1 2 , ,..., ; Z Z Z j j j 0 2   max min avec : x Z Z Z j j j j   0  j k 1 2 , ,..., ; Z Z Z j j j   max min 2 avec : Le fait d'attribuer la valeur -1 au niveau inférieur du facteur et +1 au niveau supérieur revient à réaliser un changement d'unité de mesure et d'origine qui permettent de traiter tous les facteurs de la même manière. Les variables sont alors dites centrées réduites. Centrées pour indiquer le changement d’origine et réduites pour signaler la nouvelle unité. Z Z Zk 1 0 2 0 0 , ,..., c h Le point de coordonnées est dénommé centre du plan ou niveau fondamental ; Zj est le pas ou l’intervalle de variation suivant l’axe des Zj . * La variable centrée réduite prend la valeur 0 au milieu du domaine. * Pas : valeur en unités d’origine correspondant à 1 en unités réduites. * La variable centrée réduite prend la valeur 0 au milieu du domaine. * Pas : valeur en unités d’origine correspondant à 1 en unités réduites. 4. Plan factoriel complet à deux facteurs : 22 Exemple : Étude du rendement d’une réaction chimique Le rendement y (la réponse) de la réaction dépend de deux facteurs (Figure II.1) : la température T; la pression P. Ce qui intéresse le chimiste qui est en charge de l'étude, c'est de savoir si la concentration augmente ou diminue quand la température augmente. De même, il veut savoir qu'elle est l'influence d'une variation de pression sur le rendement. Le rendement y (la réponse) de la réaction dépend de deux facteurs (Figure II.1) : la température T; la pression P. Ce qui intéresse le chimiste qui est en charge de l'étude, c'est de savoir si la concentration augmente ou diminue quand la température augmente. De même, il veut savoir qu'elle est l'influence d'une variation de pression sur le rendement. Figure II.1 : Influence de la variation des facteurs influents sur le rendement de la réaction RÉACTEUR Facteurs influents T (Z1) P (Z2) Rendement y Réponse Des installations permettent de faire varier la température de la réaction entre 60°C et 80°C et la pression entre 1 et 2 bars. Le domaine expérimental (Figure II.2) est donc définie par les quatre points suivants : A(60°C, 1 bar) ; B(80°C, 1 bar) ; C(60°C, 2 bars) ; D(80°C, 2 bars) Figure II.2 : Définition du domaine expérimental et emplacement des points expérimentaux Le niveau supérieur suivant la température est ; le niveau inférieur est . Avec et (le pas) où, max 1 80 Z C   min 1 60 Z C   0 1 70 Z C   1 10 Z C    Z Z Z 1 0 1 1 2   max min et Z Z Z 1 1 1 2   max min Par exemple (Tableau II.1), pour la température, l'unité de mesure est 10°C et l'origine, c'est-à-dire la valeur correspondant au zéro, est 70°C. Dans ces conditions 60°C et 80°C apparaissent bien comme étant 1 et +1. Et ça va de même pour la pression. Par exemple (Tableau II.1), pour la température, l'unité de mesure est 10°C et l'origine, c'est-à-dire la valeur correspondant au zéro, est 70°C. Dans ces conditions 60°C et 80°C apparaissent bien comme étant 1 et +1. Et ça va de même pour la pression. Variables d’origine : T (°C) 60 70 80 Variables d’origine : P (bar) 1 1,5 2 Variables centrées réduites 1 0 +1 Tableau II.1 : Passage des variables d’origine aux variables centrées réduites Matrice d’expériences La matrice d'expériences est le tableau qui indique le nombre d'expériences à réaliser avec la façon de faire varier les facteurs et l'ordre dans lequel il faut réaliser les expériences. Ce tableau est donc composé de +1 et de 1. Remarque Lorsque le nombre de facteurs est grand, il n'est pas toujours facile de poser rapidement les facteurs +1 et 1. Remarque Lorsque le nombre de facteurs est grand, il n'est pas toujours facile de poser rapidement les facteurs +1 et 1. Construction de la matrice d'expériences : « algorithme de Yates » Pour k facteurs, la matrice d'expériences comporte k colonnes et 2k lignes. On alterne les 1 et les +1 toutes les lignes pour la première colonne, toutes les deux lignes pour la seconde colonne, toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : Toutes les colonnes commencent par 1. On alterne les 1 et les +1 toutes les 2 j1 lignes pour la jème colonne. Construction de la matrice d'expériences : « algorithme de Yates » Pour k facteurs, la matrice d'expériences comporte k colonnes et 2k lignes. On alterne les 1 et les +1 toutes les lignes pour la première colonne, toutes les deux lignes pour la seconde colonne, toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : Toutes les colonnes commencent par 1. On alterne les 1 et les +1 toutes les 2 j1 lignes pour la jème colonne. Matrices d’expériences « algorithme de Yates » Valeurs des facteurs à l’échelle naturelle Valeurs des facteurs dans le système de coordonnées sans dimensions Rendement (réponse) Numéro de l’essai Z1 Z2 x1 x2 y Tableau II.2 : Matrice d’expériences 22 Nous écrivons la matrice d’expériences sous la forme du tableau comme suit (Tableau II.2) : Numéro de l’essai Z1 Z2 x1 x2 y 1 60 1 1 1 60 2 80 1 +1 1 65 3 60 2 1 +1 75 4 80 2 +1 +1 85 uploads/Ingenierie_Lourd/ plans-d-x27-experiences-cours-3.pdf